Ян Дененберг 2

В третьем номере журнала «Квант» за 1983 год, в рубрике «Квант для младших школьников», была предложена такая задача:

Лёня и Коля пошли в гости к Боре, но забыли номер его квартиры. Коля помнил, что если прибавить к этому номеру 10, то получится точный куб, а Лёня помнил, что если вычесть из номера квартиры число 10, то получится точный квадрат. В какой квартире живёт Боря?

Если предположить, что в доме не больше 1000 квартир, то можно просто перебрать кубы первых 10 натуральных чисел. Тогда быстро находится ответ: Боря живет в квартире 206.

Но возникает вопрос: как строго доказать единственность этого решения?

Пожалуйста, помогите разобраться!

Целое положительное число делится на 36, а сумма его цифр делится на 37. Найдите наименьшее такое число!

Сумма квадратов десяти натуральных чисел равна 50. Найдите все возможные значения произведения этих чисел.

В СССР это была задача для школьников. Сейчас её боятся даже студенты!

В одном племени приняты женские имена, составленные лишь из двух букв — А и В. Сочетания ААА и ВВ сами по себе что-то означают, но из состава более длинных слов их можно без ущерба вычёркивать (или вписывать). Сочетание ААВ в последнее время заменили на более культурное сочетание ВА, так что теперь они равнозначны. Можно ли верить вождю племени, который говорит, что у него шесть дочерей и всех их зовут по-разному?

Можно ли, используя ровно 1 раз каждое из чисел

1, 2, 3, 4, 5, 7, 9,

получить за шесть действий число 2026, если разрешены только действия сложения, вычитания и умножения?

Приведите пример числа, оканчивающегося на 400, которое при перестановке последних трёх цифр 400 в начало увеличивается в 4 раза.

Существует ли четырёхзначное число, куб которого оканчивается пятью восьмёрками?

Каково наименьшее возможное расстояние между суммой квадратов шести последовательных натуральных чисел и квадратом целого числа?

В этом тексте буква, А встречается сто тридцать раз, буква Б встречается тридцать четыре раза, буква В встречается семьдесят восемь раз, буква Г встречается один раз, буква Д встречается тридцать пять раз, буква Е встречается девяносто три раза, буква Ё встречается один раз, буква Ж встречается один раз, буква З встречается тридцать четыре раза, буква И встречается двадцать три раза, буква Й встречается один раз, буква К встречается тридцать шесть раз, буква Л встречается один раз, буква М встре…
… показать весь текст …

По кругу в каком-то порядке расставлены числа от 1 до 10. Может ли оказаться, что сумма любых двух идущих подряд чисел делится хотя бы на одно из чисел 3 и 10?

Если да, то сколько всего решений у этой задачи?

(если считать одинаковыми решения, которые получаются поворотом круга или обходом в обратную сторону)