Ян Дененберг 2

Дождливая Аня утверждает, что число 2 является единственным натуральным числом, равным удвоенной сумме своих нечётных делителей.
Помогите Ане это доказать!

Анечка смотрит на ночное небо. Вдруг она замечает метеор, пронёсшийся по небу за 2 секунды, оставив в её поле зрения след длиной 6°. Считая, что метеор пролетел на высоте 100 км, оцени скорость метеора.

Как найти семнадцатое число Резмен?

Числом Резмен назовём всякое положительное целое, у которого, если само это число разделить на количество его делителей (то есть на количество положительных чисел, на которые оно делится без остатка), в результате получится факториал (произведение нескольких подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы).

Известно, что первые шестнадцать таких чисел, упорядоченные по возрастанию, равны:
1, 2, 8, 12, 72, 384, 720, 5760, 6720, 64800, 181440000, 2322432000, 2351462400, 3773952000, 3991680000, 1034643456000.

Требуется выяснить, существует ли семнадцатое число Резмен. Если оно существует, найдите его или покажите, насколько велико оно может быть. Если же никакого семнадцатого числа Резмен на самом деле не существует, докажите это.

Измените лишь одну букву в каждом слове, чтобы получились слова-антонимы: ВОЛ — КОТ.

(Оба слова должны быть существительными. Поэтому, например, пара ВОН — ВОТ решением не считается.)

Are there infinitely many prime Fibonacci numbers?

Существует ли бесконечно много простых чисел Фибоначчи?

Я знаю, что это — открытая проблема.
Знаю, что человечество всё ещё далеко от её решения, как от далёкой звезды, к которой нет корабля.
И всё же — не могу не спросить.

Каким могло бы быть доказательство?
Или — опровержение?

Какие дороги могли бы вести нас туда?
Что мы уже умеем? Где тупики?
А где — тропинки, тонкие, но пробитые, может быть, интуицией?
… показать весь текст …

Натуральное число умножили на 96. Могла ли от этого его сумма цифр уменьшиться в 96 раз?

(Для особо придирчивых предлагаю более точный вариант условия: Натуральное число умножили на 96. Могла ли сумма цифр результата оказаться в 96 раз меньше суммы цифр исходного числа?)

Докажите, что сумма попарных произведений девяти последовательных целых чисел не может быть точной степенью целого числа, если эта степень выше первой.

Сколько цифр понадобится, чтобы записать все натуральные числа, меньшие 10 в степени 22?

Ответ: понадобится 218888888888888888888889 цифр.

Дождливая Аня написала в своей тетради 40 натуральных чисел, использовав для этого ровно 57 цифр. Оказалось, что ровно 24 из написанных Аней чисел содержат цифру 1, а ровно 25 содержат цифру 3.
Докажите, что Аня написала хотя бы одно простое число.

Найдите наименьшее количество натуральных чисел сумма кубов которых равна 2025.