а) Задумано три натуральных числа так, что ПРОИЗВЕДЕНИЕ любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

б) Задумано три натуральных числа так, что СУММА любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

Наткнулся на такой вопрос:

Съедобная единица измерения.

Сразу подумал, что имеется в виду калория. Однако оказалось, что правильный ответ — аршин. По всей видимости, от выражения «как аршин проглотил».

Цифра 2 как ключ к квадратным тайнам!

Докажите, что для каждого натурального числа n (большего или равного 4) найдётся такое n-значное число, которое является квадратом натурального числа и при добавлении в его начало цифры 2 также получится квадрат некоторого натурального числа.

Для натурального числа n вычислили сумму его цифр, возвели эту сумму в квадрат, затем каждую цифру полученного квадрата увеличили на 1. В результате снова получилось исходное число n. Для каких значений n это возможно?

Докажите, что в каждом натуральном числе, кратном 111111, обязательно найдутся две одинаковые цифры.

Попробуйте сделать это не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

(Для меньших репьюнитов утверждение неверно. Например, 1234987650 делится на 11111, 1234786509 делится на 1111 (а значит, на 11 и 1), 1234675089 делится на 111.)

Ну что ж, начнём. Аргумент 'кто хотел, тот выучил иврит' — это просто отказ от понимания реальных проблем людей. Представьте себе: 'Кто хотел, тот выжил в лагере.' Или 'Кто хотел, тот вылечился от рака.' Тот факт, что кто-то смог преодолеть невероятные трудности, не означает, что такие трудности должны быть нормой для всех. Ваша фраза — это не только отказ от сочувствия, но и полное игнорирование реальности. Не каждый подросток обладает выдающимися лингвистическими способностями, и не каждый мож…
… показать весь текст …

Двадцать наименьших простых чисел, представимых в виде суммы трёх факториалов:
3, 5, 13, 31, 127, 241, 727, 45361, 3991681, 479006641, 958003201, 6227383681, 87178331521, 87178654081, 20922789893041, 20922789928321, 21009968179201, 355687468012801, 355774606387201, 6402373745644801.

Человек, получивший образование (как школьное, так и высшее) на своём родном языке, не имеет никакого морального права осуждать другого человека, который был лишён такой возможности.

Если ты хочешь по-настоящему глубоко вникнуть во все тонкости изучаемой тобой науки, то постигать эту науку лучше всё-таки на родном языке.

Вопрос не в том, кто что даёт, или не даёт, а в том, что изучение чего-либо сопряжено с возможностью это изучать! А изучение любой научной дисциплины на незнакомом языке — п…
… показать весь текст …

1] МустАш это по-французски усы, а мустАшфа это по-арабски больница.

2] «Ки сэ» это по-французски «кто это», а кисЭ это на иврите стул.

3] Французское женское имя Pauline произносится ПолИн, а ПолИн это на иврите Польша.

4] «Как тебя зовут» на французском будет «Комо тетапЕль», а на иврите глагол «тетапЕль» — форма будущего времени от «летапЕль» (лечить, ухаживать).

5] «Та мер» — в переводе с французского «твоя мама», а в арабском языке есть мужское имя «тАмер».

Наибольшее известное простое число и уровень развития цивилизации

Существует Шкала Кардашёва — метод измерения технологического развития цивилизации, основанный на количестве энергии, которое цивилизация может использовать для своих нужд. Однако мне эта шкала не совсем нравится, по крайней мере по одной причине. Человеческий мозг, к примеру, потребляет всего около 25 ватт, но может многое из того, чего не могут суперкомпьютеры, потребляющие мегаватты энергии. Так что сама по себе энергия ещё не…
… показать весь текст …

Наконец-то до меня дошло, откуда происходит слово ПОПСА.
От слова ПОПСУТИЙ!

Одно не совсем умное утверждение по непонятной мне причине слишком часто используется общающимися со мной троллями. Я говорю об утверждении «если бы ты не писал в ФСБуке, то уже выучил бы иврит». А несогласен я с этим утверждением как минимум по нескольким причинам:

1) Потому что это не так. Потому что если способностей к усвоению иностранных языков у человека нет в принципе, то совсем не имеет значения, сколько времени, денег и усилий тратится на изучение этих самых языков. И даже если зубрить…
… показать весь текст …

Право получать образование на родном языке: фундаментальная потребность для полноценного развития личности

Каждый человек, независимо от его национальности, происхождения и места рождения, имеет право на доступное и качественное образование. Это право признается всеми цивилизованными обществами как фундаментальное. Однако когда ребенку или подростку отказывают в праве обучаться на родном языке, его лишают не просто академических возможностей — его лишают шанса на полноценное развитие и будущее…
… показать весь текст …

Языковой барьер в школе: Невидимая стена, разделяющая будущее.

В нашем обществе существует миф о том, что дети, как губки, впитывают новые языки. Однако реальность гораздо сложнее, и игнорирование языкового барьера может нанести необратимый ущерб будущему ребенка.

Представьте: вы — ребенок, окруженный непонятными словами и фразами. Каждый день в школе — это борьба не только за знания, но и за понимание основного инструмента обучения — языка. Это не просто трудность; это барьер, который отделяе…
… показать весь текст …

Возможна ли такая раскраска?

Можно ли все точки координатной плоскости с обеими целыми координатами покрасить в красный и синий цвета так, чтобы каждая горизонтальная прямая (с целочисленной ординатой) содержала натуральное число красных точек, а каждая вертикальная прямая (с целочисленной абсциссой) содержала натуральное число синих точек?

(Разумеется, нуль натуральным числом не является.)

Вот опять представили интеллектуального большинства не дают мне покоя. Сегодня одна дама заявила мне, что если моя мечта — стать математиком, то мне подойдут курсы… готовы испытать шок? Курсы ТЕСТИРОВЩИКОВ ПРОГРАММ. Этой даме невдомёк, что математик — не тот, кто программы пишет (и уж тем более не тот, кто их тестирует), а тот, кто занимается научными исследованиями и совершает научные открытия. Как же меня задолбала эта жизнь!

У какой птицы нужно убрать первую букву, чтобы получить геометрическое понятие?

Голодовянка.

Смешное слово. Такое, будто его придумали дети, играя в пиратов. Или старушки на лавочке, перебрасываясь рецептами — только не пирогов, а старых воспоминаний.

Голодовянка — это когда вдруг становится вкусно просто от запаха. От теплого хлеба в булочной. От кофе на чужом столике. От дыма, когда кто-то на улице жарит каштаны.

Голодовянка — это не про голод. Это про желание. Про острый, живой аппетит. Когда тебе хочется не просто еды, а чего-то настоящего. Сладкой морковки, сорванно…
… показать весь текст …

Дождливая Аня изучает натуральные числа, которые делятся на 2025 и имеют в своей десятичной записи только цифры 2 и 5. Сколько цифр в самом маленьком из таких чисел? И что это за число?

Are there infinitely many prime Fibonacci numbers?

Существует ли бесконечно много простых чисел Фибоначчи?

Я знаю, что это — открытая проблема.
Знаю, что человечество всё ещё далеко от её решения, как от далёкой звезды, к которой нет корабля.
И всё же — не могу не спросить.

Каким могло бы быть доказательство?
Или — опровержение?

Какие дороги могли бы вести нас туда?
Что мы уже умеем? Где тупики?
А где — тропинки, тонкие, но пробитые, может быть, интуицией?
… показать весь текст …