Две задачи для тренировки мозга:

Задача № 1:
Таня выписала (по одному разу) все натуральные числа от 1 до n (включительно) в некотором порядке. Оказалось, что никакая сумма нескольких написанных подряд чисел не кратна n+1.
При каких натуральных n такое возможно?

Задача № 2:
Первоклассница Таня знает только цифры 1 и 2. Сможет ли Таня написать 10-значное число, кратное 2023?

Назовём натуральное число дождливым, если оно на 2 больше некоторого простого числа. Пару дождливых чисел назовём золотой, если и сумма, и разность чисел в этой паре также являются дождливыми числами (разность берётся со знаком «плюс»). Найдите все золотые пары и докажите, что других нет.

Некоторые говорят мне: «Изучай математику на иврите, в чём проблема? Все справляются, и ты сможешь.»
Эти люди, по всей видимости, понятия не имеют, что значит глубоко вникать в изучаемый предмет. Ну, а зубрить можно хоть на китайском, на то она и зубрёжка.

Моя Никольчик,

Моя Никольчик,

Как я хочу лизнуть твой колокольчик!

а) Докажите, что для любого натурального n, большего или равного 2, существует n таких попарно различных составных натуральных чисел, что сумма любых n-1 из них кратна количеству делителей оставшегося.

б) Та же задача, но все n чисел должны быть ещё и попарно взаимно простыми.

Развитие у учащихся общеучебных умений и навыков, таких как анализ, синтез, постановка целей и других, является одной из основных целей образовательного процесса. Эти умения и навыки позволяют ученикам эффективно учиться и развиваться в различных областях знаний и жизненных сферах.
Анализ — это умение разбираться в сложных явлениях и процессах, выделять основные и важные аспекты, а также устанавливать связи и зависимости между ними. Синтез — это умение объединять различные элементы в целостную с…
… показать весь текст …

Вася, сидя на склоне холма и глядя на мерцающие огни внизу, тихо вздохнул. Он был далеко от дома. Воспоминания об уютной кухне, запахе свежего хлеба и голосе матери вдруг ворвались в его сознание. Он всегда думал, что в подобные моменты страха и одиночества такие мысли будут отвлекать, но сейчас они, напротив, придавали ему сил. Он знал, зачем и ради кого он здесь.

Задача была ясна: пробраться в горный лагерь противника и добыть ценные данные. Его товарищи рассчитывали на него, и Вася не мог их…
… показать весь текст …

Мне 47 лет и я девственник.
Я родился 16 марта 1977 года.
Таким образом, мне идёт уже сорок восьмой год, а я до сих пор всё ещё девственник.

Знаете, достали уже эти «умники», которые твердят, будто математика не требует знания языка! Приведу простой пример, чтобы объяснить, почему это полное заблуждение.

Вот представьте себе, учитель объясняет, что такое длина дуги. Он говорит: «Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена стремится к нулю».
И что дальше? Ученик, конечно, спрашивает: «А что такое…
… показать весь текст …

Сегодня встретил знакомую, которая спросила меня: «Если ты так рвёшься изучать математику, то почему бы тебе не пойти на бухгалтерские курсы?»

Меня подобные вопросы всегда шокируют — неужели люди не понимают разницы между математиком и бухгалтером?

Немного успокоившись и частично придя в себя, я решил написать здесь, что думаю по поводу вопроса моей знакомой.

Прежде всего, математика и бухгалтерское дело суть совершенно разные специальности. Математик это учёный, то есть человек, занимающийся…
… показать весь текст …

И вновь о наболевшем. Право получать образование на родном языке. Почему у одних оно есть, а у других — нет? Почему одни должны быть в более выгодном положении, чем другие? Почему, например, талантливый математик, физик, химик, биолог или юрист должен отказываться от своей мечты о самореализации в любимой им области лишь в силу того, что он не сумел овладеть, скажем, ивритом в той мере, в коей он владеет русским языком, являющимся для него родным?
Я считаю, что подобное положение дел является неправильным, несправедливым и дискриминирующим.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, представьте число 2025 в виде суммы четырёх натуральных слагаемых так, чтобы все цифры в записи всех этих слагаемых были различны (необходимо использовать все 10 цифр).

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, можно ли расставить целые числа от 1 до 22 по кругу так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих чисел была простым числом.

Может ли число, в десятичной записи которого есть только цифры 1 и 0, иметь ровно 10 делителей?
Оказывается, может!
У числа 11101101111 ровно 10 делителей!

Встречаются как-то Настя и Даша в кафе.
Настя выглядит совершенно убитой. Даша спрашивает:
— Что случилось, Настюш?
Настя вздыхает:
— Да вот, вчера объясняла своему парню, что производная показательной функции равна произведению этой функции на натуральный логарифм основания степени.
Он выслушал и спрашивает: «Ну и что ты этим хочешь сказать?»
Даша, подмигивая:
— Ну и что ты ответила?
Настя печально:
— Что? Ничего. Производная у нас получилась, а производительности как не было, так и нет…

250 студентов поехали на картошку, причём у каждого из них ровно 4 друга среди остальных.

По окончании уборочных работ оказалось, что ровно 188 студентов перевыполнили план.

Докажите, что найдётся студент, у которого все четверо друзей перевыполнили план.

а) Задумано три натуральных числа так, что ПРОИЗВЕДЕНИЕ любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

б) Задумано три натуральных числа так, что СУММА любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

Наткнулся на такой вопрос:

Съедобная единица измерения.

Сразу подумал, что имеется в виду калория. Однако оказалось, что правильный ответ — аршин. По всей видимости, от выражения «как аршин проглотил».

Цифра 2 как ключ к квадратным тайнам!

Докажите, что для каждого натурального числа n (большего или равного 4) найдётся такое n-значное число, которое является квадратом натурального числа и при добавлении в его начало цифры 2 также получится квадрат некоторого натурального числа.

Для натурального числа n вычислили сумму его цифр, возвели эту сумму в квадрат, затем каждую цифру полученного квадрата увеличили на 1. В результате снова получилось исходное число n. Для каких значений n это возможно?