(Тихий голос за кадром, как будто кто-то рассказывает тебе историю в окно весенней ночью.)

Жила-была девочка по имени Аня.
У неё была одна странная мечта — построить лестницу до самой луны.

Каждое утро Аня прибивала к земле новую ступеньку.
Сначала было легко: одна ступенька, другая, третья.
Лестница росла. Сначала выше травы, потом выше забора, потом выше крыши дома.

Аня поднималась по ней всё выше и выше.
И каждый вечер, садясь на самую верхнюю ступеньку, она видела, как мир становит…
… показать весь текст …

Если в слове ТЫ заменить каждую букву её номером в русском алфавите, получится простое число: 2029.
Давайте составим «лесенку» из таких «простых» (просточисленных) слов!

1 буква: В равно 3

2 буквы: ТЫ равно 2029

3 буквы: ТУЗ равно 20219

4 буквы: КЛИП равно 12131017

5 букв: ВЕСНА равно 3619151

6 букв: МУЗЫКА равно 1421929121
… показать весь текст …

Дождливая Аня выписала на доску 4 последовательных натуральных числа (в одну строчку, в порядке возрастания).
Анина подруга Настя под каждым из выписанных Аней чисел решила написать количество его делителей. У Насти получилось 4, 6, 7, 8.
Докажите, что Настя ошиблась.

Назовём прямоугольный параллелепипед дождливым, если у него длины рёбер — натуральные числа, площадь поверхности — точная степень, а объём — квадрат простого числа. Найдите все дождливые прямоугольные параллелепипеды и докажите, что других нет.

Я верю в математику ради математики.
Не ради мостов, спутников или бирж.
А ради её прозрачной строгости, её тихого света, её способности быть.

Есть замечательная пословица:
от добра добра не ищут.

Вот и я — не ищу от математики пользы.
Она — уже добро. Уже дар.

Мне вот история ни разу в жизни не пригодилась.
Но это не мешает мне любить её.

Любить, как любят человека, который не спасает, не кормит, не развлекает —
… показать весь текст …

Есть в русском языке такие повороты, в которых, кажется, сама грамматика на миг задумывается.

Вот мы говорим: «памятник ЛенинУ» — и в этом дательном падеже будто звучит жест установления: кому поставлен, в честь кого.

А потом идём и возлагаем цветы: «к памятнику ЛенинА». И здесь уже звучит другая интонация — принадлежность, отсылка, память не как действие, а как результат.

Почему так? Почему сначала — ЛенинУ, а потом — ЛенинА? Это грамматическая тонкость или что-то большее — про способ говорить о человеке, когда он уже в бронзе?

Кто знает — объясните. А кто чувствует — откликнитесь.

Дождливая Аня утверждает, что число 2 является единственным натуральным числом, равным удвоенной сумме своих нечётных делителей.
Помогите Ане это доказать!

Анечка смотрит на ночное небо. Вдруг она замечает метеор, пронёсшийся по небу за 2 секунды, оставив в её поле зрения след длиной 6°. Считая, что метеор пролетел на высоте 100 км, оцени скорость метеора.

Как найти семнадцатое число Резмен?

Числом Резмен назовём всякое положительное целое, у которого, если само это число разделить на количество его делителей (то есть на количество положительных чисел, на которые оно делится без остатка), в результате получится факториал (произведение нескольких подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы).

Известно, что первые шестнадцать таких чисел, упорядоченные по возрастанию, равны:
1, 2, 8, 12, 72, 384, 720, 5760, 6720, 64800, 181440000, 2322432000, 2351462400, 3773952000, 3991680000, 1034643456000.

Требуется выяснить, существует ли семнадцатое число Резмен. Если оно существует, найдите его или покажите, насколько велико оно может быть. Если же никакого семнадцатого числа Резмен на самом деле не существует, докажите это.

Измените лишь одну букву в каждом слове, чтобы получились слова-антонимы: ВОЛ — КОТ.

(Оба слова должны быть существительными. Поэтому, например, пара ВОН — ВОТ решением не считается.)

Are there infinitely many prime Fibonacci numbers?

Существует ли бесконечно много простых чисел Фибоначчи?

Я знаю, что это — открытая проблема.
Знаю, что человечество всё ещё далеко от её решения, как от далёкой звезды, к которой нет корабля.
И всё же — не могу не спросить.

Каким могло бы быть доказательство?
Или — опровержение?

Какие дороги могли бы вести нас туда?
Что мы уже умеем? Где тупики?
А где — тропинки, тонкие, но пробитые, может быть, интуицией?
… показать весь текст …

Натуральное число умножили на 96. Могла ли от этого его сумма цифр уменьшиться в 96 раз?

(Для особо придирчивых предлагаю более точный вариант условия: Натуральное число умножили на 96. Могла ли сумма цифр результата оказаться в 96 раз меньше суммы цифр исходного числа?)

Докажите, что сумма попарных произведений девяти последовательных целых чисел не может быть точной степенью целого числа, если эта степень выше первой.

Сколько цифр понадобится, чтобы записать все натуральные числа, меньшие 10 в степени 22?

Ответ: понадобится 218888888888888888888889 цифр.

Дождливая Аня написала в своей тетради 40 натуральных чисел, использовав для этого ровно 57 цифр. Оказалось, что ровно 24 из написанных Аней чисел содержат цифру 1, а ровно 25 содержат цифру 3.
Докажите, что Аня написала хотя бы одно простое число.

Найдите наименьшее количество натуральных чисел сумма кубов которых равна 2025.

Какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности, в которой все числа являются квадратами натуральных чисел и каждое следующее число получается из предыдущего приписыванием к нему слева одной цифры?

Некоторые люди всерьёз убеждены, что всё зависит от желания.
От силы мотивации.
От личного выбора.
Мол, если ты действительно хочешь — ты добьёшься.
Если нет — ну, значит, не так уж и хотел.
Это удобно. Это красиво. Это освобождает от ответственности.

Но в этой конструкции отсутствует кое-что важное.
И это не философия. Это — простая математика.

Представьте: вы говорите, что скорость автомобиля зависит только от мощности двигателя.
И при этом не принимаете в расчёт,
что дорога может быть разби…
… показать весь текст …

Назовём натуральное число дождливым, если оно на 2 больше некоторого простого числа. Пару дождливых чисел назовём золотой, если и сумма, и разность чисел в этой паре также являются дождливыми числами (разность берётся со знаком «плюс»). Найдите все золотые пары и докажите, что других нет.

Дождь сыпал лениво, будто устал. Аня шагала босиком по мокрому асфальту, слушая, как шлёпают по лужам её собственные мысли. Настя — та, что боится числа тринадцать, как боятся прощений, которых не будет, — всё шла рядом, прикусывая губу. Наконец решилась:

— Аня… а какое самое большое тринадцатизначное число делится на 13, если каждая цифра в нём встречается не больше двух раз?

Аня не ответила сразу. Она смотрела, как капли сливаются на стекле остановки, и вдруг — будто услышала музыку изнутри этого вопроса — улыбнулась и сказала:
— Знаешь, я уже знаю. Без калькулятора. Без программы.

А вы?