Существуют ли такие 19 различных натуральных чисел, что произведение любых 10 чисел кратно произведению оставшихся 9 чисел?

Я думаю, что да. Например, возьмём девятнадцать степеней двойки подряд: 2**81, 2**82, …, 2**99.

4, 8, 32, 2312… А есть ли следующий?

У каких примориалов, увеличенных на 2, сумма делителей будет нечётной?
Ясно, что нечётную сумму делителей дают либо квадраты, либо удвоенные квадраты.
Вот первые 4 решения: 4, 8, 32, 2312.
Существует ли пятое и как его найти?

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите хотя бы одно натуральное число, сумма цифр которого уменьшится в 2 раза, если само число возвести в квадрат.

Дождливая Аня сложила k-тые степени первых нескольких натуральных чисел и получила сумму, которая оканчивается цифрой 7.
При каком наименьшем натуральном k такое возможно?

На какое натуральное число нужно умножить 2025, чтобы у полученного числа было ровно 28 натуральных делителей (включая единицу и само число)? (Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.)

Существуют ли простые близнецы, у которых сумма цифр отличается в 5 раз?

Задача на внимательность (с языковым оттенком)

Последовательность: 0, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 30, …

Какое правило её задаёт? Какие будут следующие элементы?

Подсказка: ответ не числовой, а фонетико-лексический. Связан не с цифрами, а с тем, как звучат названия этих чисел на русском языке.

Дождливая Аня выписала в тетрадь несколько последовательных натуральных чисел, 4 из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Какое наименьшее количество чисел могла выписать Аня?

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, при этом такое, что сумма любых трёх его цифр — простое число.

Никто не знал, откуда она пришла. Одни говорили — из степей под Полтавой, другие — что её подбросили в эшелоне, переполненном молчаливыми женщинами и детьми, выехавшими из Харькова в ночь, когда тот догорал. Она появилась как облако пепла — бесшумная, щемящая, неизбежная. Её звали Мира, и это имя несло в себе больше иронии, чем надежды.

Она не говорила. Почти совсем. Только глазами. И этими глазами можно было расплавить шестерёнки в сердце «мессера».

Лагерь стоял на склоне заброшенного кирпичн…
… показать весь текст …

В классе девочек более 80%, но менее 81%. Какое наименьшее количество девочек может быть в этом классе?

Вот что думает искусственный интеллект о психологической травме, вызванной эмиграцией:

Психологическая травма от эмиграции может варьироваться от лёгкого дискомфорта до разрушительного кризиса идентичности. Ниже — 12 степеней в порядке возрастания тяжести, с пояснениями:

1. Лёгкое беспокойство
Симптомы: временами тревожные мысли, связанные с будущим, страх сделать что-то «не по-местному».
Метафора: как если бы ты всё время чуточку не туда повернул — и теперь идёшь не по своей улице.

2. Культу…
… показать весь текст …

В клетки таблицы размером 3 на 3 Дождливая Аня расставила все цифры от 1 до 9 — по одной в каждую клетку. Затем она вычислила суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по обеим диагоналям.
Какое наибольшее количество из этих восьми сумм могут оказаться квадратами натуральных чисел?

Для натурального числа n вычислили сумму его цифр, возвели эту сумму в квадрат, затем каждую цифру полученного квадрата увеличили на 1. В результате снова получилось исходное число n. Для каких значений n это возможно?

Найдите положительное число, которое образует гармоническую прогрессию вместе со своей целой и дробной частями.

Дождливая Аня выписала в ряд несколько различных натуральных чисел, меньших 12. Оказалось, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое.
Какое наибольшее количество чисел могла выписать Аня?

А вас не настораживает, что Закон Мура вдруг затих — не умер, не взорвался, не сошёл с ума, а просто… затих? Как будто кто-то аккуратно положил его в ящик стола, рядом с забытыми кольцами и письмами, и запер — на всякий случай.

Он же был как метроном, этот закон: тик — мощность, так — удвоение. Полвека мы жили в уверенности, что скорость будет расти, как температура на экзамене, как тревога перед признанием. А потом — щёлк — и тишина. На поверхности сказали: законы физики, кремний, тепло, грани…
… показать весь текст …

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.

Дождливая Аня выписала в ряд несколько (более одного) натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, отличается от предыдущего либо на 10, либо в 7 раз. Сумма всех выписанных чисел равна 21. Какое наименьшее количество чисел могла выписать Дождливая Аня?

Докажите, что никакую степенную башню из пятёрок (даже из одной) нельзя представить в виде суммы кубов нескольких подряд идущих целых чисел.