Место для рекламы
Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее 4-значное число, которое кратно сумме своих цифр и в котором первая цифра совпадает с третьей, но не совпадает со второй.
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  02 авг 2025
Считается, что возвращение к прошлому вызывает внутреннее опустошение. Но чаще это следствие, а не причина: человек обращается к воспоминаниям именно потому, что в настоящем ему плохо.
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  30 июл 2025
Два умственных упражнения для разогрева мозга:

1) Настя утверждает, что нашла простое число, которое начинается с цифры 7, заканчивается на две цифры «99», а все остальные цифры в нем — пятерки.

«Ты ошибаешься!» — ответила Насти ее подруга Даша.

Докажите, что Даша права.

2) В зашифрованном уравнении OX умножить на OF равно FOX, цифры заменены буквами: одинаковые цифры — одной и той же буквой, а разные — разными буквами. Найдите все возможные расшифровки, не пользуясь компьютерной программой и калькулятором.
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  30 июл 2025

Ошибка в журнале "Квант"? Или моя ошибка?

В 7-м номере журнала «Квант» 1989 года предлагалась следующая задача:

Когда Петя разбил свою копилку, в ней оказалось 16 медных монет. Он разложил их на 4 кучки по 4 монеты так, чтобы денег в кучках было поровну. Тут он заметил, что наборы монет во всех кучках разные. Сколько денег было в копилке?

В следующем номере журнала был дан ответ:

-------------------------------------------------------------

Цитата:

«Таких наборов монет два:

(2, 2, 3, 3),
(1, 3, 3, 3),
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  29 июл 2025
На Ленинградской олимпиаде 1972-го года предлагалась следующая задача:

Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 1972?

Мне удалось найти натуральное число, у которого не только сумма цифр квадрата равна 1972, но и сумма цифр самого числа также равна 1972.

Сделайте это и вы, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  25 июл 2025

Цитата Пойа о математической индукции

«Когда вы пытаетесь придумать доказательство с помощью математической индукции, вам оно может не удаваться по двум противоположным причинам. Оно может вам не удаваться и потому, что вы пытаетесь доказать слишком много: ваше

P (n+1) — слишком тяжёлый груз.

Оно может вам не удаваться и потому, что вы пытаетесь доказать слишком мало: ваше

P (n) — слишком слабая опора.

Вообще, вы должны уравновесить утверждение вашей теоремы так, чтобы опора была как раз достаточна для груза.»
 — Д. Пойа
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  21 июл 2025
Урок. Середина дня. Жара. Лето. Настя сидит, подперев щёчку, и думает о судьбе.

Учительница строго, но с надеждой в голосе:
 — Настя, пожалуйста, реши задачу:

В спортивном зале стоят несколько одинаковых скамеек. Если спортсмены будут садиться по 6 человек на скамейку, то на последнюю сядут только 3. А если по 5 — то четырём не хватит места.
Сколько спортсменов и сколько скамеек?

Настя медленно поворачивает голову, моргает, и с лёгкой улыбкой отвечает:
 — А зачем им всем садиться, Марьиванна? — В смысле — зачем?! Это условие задачи! — А если они просто… встанут в круг? Обнимутся? И поймут, что скамейка — это метафора одиночества, а не мебель?
 — Настя… пожалуйста, без философии… — Хорошо. Тогда пусть x — количество скамеек, а y — количество спортсменов.
(Пауза.)
Но лично я бы решила уравнение через дружбу.
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  19 июл 2025

Охота за троицей: где прячутся две нечётные?

В числовом ребусе AB+BC+CA равно 1CA разные буквы означают разные цифры, отличные от нуля, причём две из них нечётны.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, чему могут быть равны A, B и C.

Сколько решений у этой задачи?
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  14 июл 2025
Найдите все простые числа P, для которых сумма десятичных цифр числа P**4+4 равна самому P.
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  14 июл 2025

Куб кубовский, 5177717

Куб натурального числа назовём кубовским, если он содержит хотя бы по одному разу цифры 1, 5 и 7, а других цифр не содержит.

Наименьшим кубовским кубом является куб числа 173, равный 5177717.

Найдётся ли ещё один кубовский куб?
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  11 июл 2025

Головоломка для любителей английского языка

Ниже зашифрованы пять английских слов. Что должно стоять на месте вопросительных знаков?

1
TAM, MEH, ???, S 
2
EVED, ???, TNE

3
HCRA, ???, ERUT

4
VNOC, ASRE, ???

5
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  10 июл 2025
Какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел можно записать, чтобы сумма цифр каждого из этих чисел не делилась на 6?
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  08 июл 2025
Выписываем наименьшее простое число, затем его порядковый номер, затем следующее простое число и его порядковый номер и так далее. Всё это пишем друг за другом без пробелов. Если так написать первые 11 простых чисел с их номерами, получится число

2132537411513617719823929103111, которое тоже простое. Красиво, правда?

Число 213 253 также простое и построено по тому же принципу.
А вот третьего такого числа, кажется, нет. Во всяком случае, компьютерная проверка вплоть до первых 60 простых чисел не дала результата.
Если вдруг обнаружите новый «успешный» пример — это будет маленькая сенсация!
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  04 июл 2025
Дело было в тихом XX веке. Внучка, поправив октябрятскую звёздочку на своей школьной форме, спросила дедушку в день его рождения, в каком году тот родился. Дедушка, будучи любителем математики, дал внучке ответ в виде задачи:

«И год моего рождения, и текущий год, представляются в виде суммы девяти различных натуральных степеней двойки!»

Так сколько же лет исполнилось дедушке в тот день?

(Под натуральной степенью двойки понимается степень числа 2 с натуральным показателем.)
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  03 июл 2025
Аня и Настя разделили между собой 23 монеты по 4 и 7 чебупляров, причём оказалось, что денег у них поровну.
Какое наибольшее количество денег может быть у этих девочек вместе?
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  30 июн 2025
Как при помощи только пяти цифр 5, знаков арифметических действий и скобок представить число 18?
Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  27 июн 2025

Число умножили на сумму его цифр.
Могло ли при этом получиться число
1800. .. 00225 (2025 нулей)?

Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  26 июн 2025

Задача про хвост «2121…21».
Докажите, что сколько бы раз Дождливая Аня ни выписала подряд без пробелов число 21, найдётся точный квадрат, десятичная запись которого оканчивается на выписанное Аней число.

Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  23 июн 2025

Дождливая Аня задумала натуральное число, в десятичной записи которого ни одна из цифр не превышает 3.
При этом:
количество нулей равно сумме количеств единиц и двоек;
количество двоек равно количеству троек;
сумма всех цифр числа равна 27.
Какое наименьшее число могла задумать Аня?

Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  22 июн 2025

Существуют ли такие 19 различных натуральных чисел, что произведение любых 10 чисел кратно произведению оставшихся 9 чисел?

Я думаю, что да. Например, возьмём девятнадцать степеней двойки подряд: 2**81, 2**82, …, 2**99.

Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  18 июн 2025