Анечка захотела для каждого нату… – Ян Альбертович Дененберг

(Тихий голос за кадром, как будто кто-то рассказывает тебе историю в окно весенней ночью.)

Жила-была девочка по имени Аня.
У неё была одна странная мечта — построить лестницу до самой луны.

Каждое утро Аня прибивала к земле новую ступеньку.
Сначала было легко: одна ступенька, другая, третья.
Лестница росла. Сначала выше травы, потом выше забора, потом выше крыши дома.

Аня поднималась по ней всё выше и выше.
И каждый вечер, садясь на самую верхнюю ступеньку, она видела, как мир становит…
… показать весь текст …

Дождливая Аня выписала в ряд несколько (более одного) натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, отличается от предыдущего либо на 10, либо в 7 раз. Сумма всех выписанных чисел равна 21. Какое наименьшее количество чисел могла выписать Дождливая Аня?

Дождь сыпал лениво, будто устал. Аня шагала босиком по мокрому асфальту, слушая, как шлёпают по лужам её собственные мысли. Настя — та, что боится числа тринадцать, как боятся прощений, которых не будет, — всё шла рядом, прикусывая губу. Наконец решилась:

— Аня… а какое самое большое тринадцатизначное число делится на 13, если каждая цифра в нём встречается не больше двух раз?

Аня не ответила сразу. Она смотрела, как капли сливаются на стекле остановки, и вдруг — будто услышала музыку изнутри этого вопроса — улыбнулась и сказала:
— Знаешь, я уже знаю. Без калькулятора. Без программы.

А вы?

Дождливая Аня решила полностью замостить квадрат со стороной в 7 клеток трёхклеточными уголками и пятиклеточными плюсиками. Какое наименьшее количество плюсиков понадобится Ане? А какое наибольшее количество плюсиков Аня может использовать?

Задумав некоторое натуральное число n, Дождливая Аня сложила n последовательных натуральных чисел, потом n следующих чисел, после чего полученные суммы перемножила.
Докажите, что в результате у Ани не мог получиться десятичный репьюнит (то есть число, в десятичной записи которого используется только цифра 1).