Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, при этом такое, что сумма любых трёх его цифр — простое число.

Поскольку государством Израиль не признаётся право получать образование на родном языке, предполагалось, что новоприбывших из СССР будут обучать на иврите. При этом совершеннолетних иммигрантов определили в так называемые ульпаны, а вот привезённых в позднем подростковом возрасте (в моём случае — в 14 лет) поместили сразу же в обычные классы обычных израильских школ, рассчитывая, по всей видимости, на то, что подростки овладеют совершенно новым для них иностранным языком самостоятельно.

И вот…
… показать весь текст …

Тройная анаграмма из 11 букв:

А прыть в дело! — проделывать — подрыватель

Мне очень стыдно. И не только потому что в свои 47 лет я до сих пор девственник, но ещё и потому что до 47 лет я не знал, что в слове «кашлянуть» ударение падает на первый слог. И только сегодня об этом узнал.

Вставьте в скобки значимое слово, которое завершает первое слово и начинает второе (количество точек должно равняться количеству букв во вставляемом слове):

1) ба (. .)наж;

2) нас (. .)д;

3) вы (. .)порт;

4) про (. .)да;

5) пол (. .)да;

6) с (. .)мат;
… показать весь текст …

Предположим, что теория симуляции действительно верна и наша Вселенная является симуляцией (возможно, не единственной), осуществляемой в другой вселенной.

Что в таком случае мешает нам предположить, что та вселенная, в которой осуществляется симуляция нашей Вселенной, тоже, в свою очередь, является симуляцией (возможно, не единственной), осуществляемой в некоей третьей вселенной? А третья — симуляция в четвёртой, четвёртая — в пятой тощо.

Получается своего рода теория бесконечной вложенности симуляций (сравните с теорией бесконечной вложенности материи). Причём вложенность симуляций, как и вложенность материи, может оказаться бесконечной в обе стороны. Ведь и в нашей Вселенной могут существовать цивилизации, осуществляющие симуляцию других вселенных, в которых, в свою очередь, тоже есть цивилизации, осуществляющие симуляции ещё каких-нибудь вселенных, и так до бесконечности.

Дождливая Аня выписала в ряд несколько различных натуральных чисел, меньших 12. Оказалось, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое.
Какое наибольшее количество чисел могла выписать Аня?

А вас не настораживает, что Закон Мура вдруг затих — не умер, не взорвался, не сошёл с ума, а просто… затих? Как будто кто-то аккуратно положил его в ящик стола, рядом с забытыми кольцами и письмами, и запер — на всякий случай.

Он же был как метроном, этот закон: тик — мощность, так — удвоение. Полвека мы жили в уверенности, что скорость будет расти, как температура на экзамене, как тревога перед признанием. А потом — щёлк — и тишина. На поверхности сказали: законы физики, кремний, тепло, грани…
… показать весь текст …

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.

Все мотивационные тренинги устроены одинаково.
Как плохая пьеса, у которой первый акт — бесплатный,
второй — тоже бесплатный,
а третий — внезапно со входом по билету.

Акт первый.
Ты сидишь напротив микрофона, у тебя в руках бумажный стаканчик с холодным кофе, и тебе говорят:
— У тебя всё плохо.
Ты киваешь. Ты не знаешь, как это получилось. А они знают.
Они улыбаются, как будто заранее знают, что ты купишь билет.
— Приходи завтра, расскажем. Бесплатно.

Акт второй.
Ты пришёл.
… показать весь текст …

Назовём прямоугольный параллелепипед дождливым, если у него длины рёбер — натуральные числа, площадь поверхности — точная степень, а объём — квадрат простого числа. Найдите все дождливые прямоугольные параллелепипеды и докажите, что других нет.

Дождливая Аня утверждает, что число 2 является единственным натуральным числом, равным удвоенной сумме своих нечётных делителей.
Помогите Ане это доказать!