А вас не настораживает, что Закон Мура вдруг затих — не умер, не взорвался, не сошёл с ума, а просто… затих? Как будто кто-то аккуратно положил его в ящик стола, рядом с забытыми кольцами и письмами, и запер — на всякий случай.

Он же был как метроном, этот закон: тик — мощность, так — удвоение. Полвека мы жили в уверенности, что скорость будет расти, как температура на экзамене, как тревога перед признанием. А потом — щёлк — и тишина. На поверхности сказали: законы физики, кремний, тепло, грани…
… показать весь текст …

Существует ли точная четвёртая степень с суммой цифр, равной четырём?
Это тоже открытая проблема, поскольку ответ до сих пор не найден.

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.

Все мотивационные тренинги устроены одинаково.
Как плохая пьеса, у которой первый акт — бесплатный,
второй — тоже бесплатный,
а третий — внезапно со входом по билету.

Акт первый.
Ты сидишь напротив микрофона, у тебя в руках бумажный стаканчик с холодным кофе, и тебе говорят:
— У тебя всё плохо.
Ты киваешь. Ты не знаешь, как это получилось. А они знают.
Они улыбаются, как будто заранее знают, что ты купишь билет.
— Приходи завтра, расскажем. Бесплатно.

Акт второй.
Ты пришёл.
… показать весь текст …

Как долго мы будем молча наблюдать за нарушениями в области языковых прав? Принуждение к обучению на государственном языке в израильской системе образования — это серьёзное вмешательство в личные и культурные права детей и подростков. Власти, игнорируя право получать образование на родном языке, подрывают саму основу культурного многообразия и идентичности. Это не только несправедливо, это нарушение базовых человеческих прав!

Каждый отказ от обучения на родном языке приближает нас к краю культурной ассимиляции. Молчание и бездействие в этом контексте недопустимы. Не можем мы сидеть сложа руки, позволяя стирать уникальность нашей культуры под давлением одноязычия.

Пришло время подняться и сказать: «Довольно!» Не позволим украсть будущее наших детей и подростков! Необходимо защищать наше право на языковую и культурную идентичность. Призываем к немедленным действиям и решительным изменениям в политике образования!

Назовём прямоугольный параллелепипед дождливым, если у него длины рёбер — натуральные числа, площадь поверхности — точная степень, а объём — квадрат простого числа. Найдите все дождливые прямоугольные параллелепипеды и докажите, что других нет.

Настя выписывает цифры по порядку: 12345678901234567890…

а) Докажите, что наступит момент, когда у Насти получится число, кратное 11.

б) При каком наименьшем натуральном N у Насти никогда не получится числа, кратного N?

На нескольких англоязычных сайтах фигурирует задача, в которой требуется найти следующее число в последовательности 1, 6, 20, 56, …
Авторами, по всей видимости, подразумевалось продолжение …144, однако у меня созрело другое и не менее красивое решение:
Назовём натуральное число привольным, если у него сумма нечётных делителей равна количеству всех делителей. Вот первые 22 привольных числа:

1, 6, 20, 56, 352, 480, 832, 2688, 4352, 9728, 13824, 47104, 67584, 71680, 184320, 319488, 475136, 1015808, 6684672, 7208960, 9699328, 12845056.

Как вам такое решение?
И как найти двадцать третье привольное число?

Сорок чисел Дождливой Ани.

Дождливая Аня решила найти натуральное число, которое делится на количество своих делителей, причём любое число, получаемое из него отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, обладает тем же свойством.
К своему удивлению, Аня нашла не одно, а целых сорок таких чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 80, 84, 88, 96, 128, 180, 184, 240, 248, 804, 808, 880, 882, 1284, 1800, 1840, 2480, 2488, 8080, 8824, 18000, 18008, 24804, 24880, 80802, 88240, 180000, 180008, 180080, 180088, 1800080, 1800804, 1800880.

Докажите, что Дождливая Аня нашла все такие числа.

Как найти семнадцатое число Резмен?

Числом Резмен назовём всякое положительное целое, у которого, если само это число разделить на количество его делителей (то есть на количество положительных чисел, на которые оно делится без остатка), в результате получится факториал (произведение нескольких подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы).

Известно, что первые шестнадцать таких чисел, упорядоченные по возрастанию, равны:
1, 2, 8, 12, 72, 384, 720, 5760, 6720, 64800, 181440000, 2322432000, 2351462400, 3773952000, 3991680000, 1034643456000.

Требуется выяснить, существует ли семнадцатое число Резмен. Если оно существует, найдите его или покажите, насколько велико оно может быть. Если же никакого семнадцатого числа Резмен на самом деле не существует, докажите это.

Дождливая Аня утверждает, что число 2 является единственным натуральным числом, равным удвоенной сумме своих нечётных делителей.
Помогите Ане это доказать!

Назовём натуральное число Тацечкиным, если оно кратно 7, а его десятичная запись состоит только из нечётных цифр.

Найдите наибольшее Тацечкино число с суммой цифр:

а) 2015

б) 2019

Многие наши современники жалуются на то, что у них совершенно нет времени читать книги. Между тем, к примеру, поэма Пушкина «Братья-разбойники» читается минут за десять (если вслух и с выражением, то за пятнадцать), зато удовольствия от неё не меньше, чем от хорошего, качественного секса. Неужели люди настолько зациклились на своей работе, что не в состоянии найти эти 10−15 минут?!

Наконец, может оказаться, что уравнение второй степени не представляет никакого геометрического места. Тогда приходит инженер и говорит: «Не волнуйтесь, я его найду. У меня в кармане всегда есть транспортир, циркуль и линейка. А если это не поможет, я просто добавлю неизвестную переменную и скажу, что это новая физическая константа!»

Мне упорно продолжают твердить, что для изучения математики не требуется знать язык, на котором осуществляется обучение.

А как вообще можно учиться чему-то новому, не зная языка?

Заявление о том, что для изучения математики не требуется знание языка, является ошибочным. Да, математические концепции являются универсальными и не зависят от языка. Однако язык все же играет ключевую роль в процессе обучения. Во-первых, объяснения и лекции, как правило, проходят на определенном языке. Во-вторых, математическая терминология также требует определенного уровня языковых навыков для понимания.

Кроме того, общение с преподавателями и одноклассниками, а также чтение учебников и научных статей, безусловно, является невозможным, если вы не владеете языком обучения. Недопонимание языка может создать непреодолимые преграды на пути к усвоению материала.

Публикую мой комментарий к статье «Убийство прекрасной гипотезы уродливым фактом»: как погиб витализм.

Мочевину мы можем создать, а вот жизнь, живой организм, не можем. Попробуйте создать хотя бы бактерию. Именно создать, из неживого, а не вывести селекцией или редактированием генома уже существующих организмов.
Да и с искусственным интеллектом та же фигня — комп обыгрывает гроссмейстеров в шахматы, а написать обычное школьное сочинение на уровне второго класса не в состоянии, ибо не понимает смысла того, что пишет. И даже в той же математике, искусственный «разум» ловко щёлкает диффуры в частных производных и вычисляет тройные интегралы, а вот решить хотя бы простенькую олимпиадную задачку не в силах, опять же, в силу своей неспособности понимать естественный язык.
Так что лично я не спешу отвергать витализм с порога.

С уважением,
Ян Альбертович Дененберг,
Ноф-а-Галиль,
14 ноября 2020,
23:44:41.

Найдите положительное число, которое образует гармоническую прогрессию вместе со своей целой и дробной частями.

В клетки таблицы размером 3 на 3 Дождливая Аня расставила все цифры от 1 до 9 — по одной в каждую клетку. Затем она вычислила суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по обеим диагоналям.
Какое наибольшее количество из этих восьми сумм могут оказаться квадратами натуральных чисел?

4, 8, 32, 2312… А есть ли следующий?

У каких примориалов, увеличенных на 2, сумма делителей будет нечётной?
Ясно, что нечётную сумму делителей дают либо квадраты, либо удвоенные квадраты.
Вот первые 4 решения: 4, 8, 32, 2312.
Существует ли пятое и как его найти?

В современном мире, где право на образование признаётся универсальным, позиция тех, кто отрицает необходимость получения образования на родном языке, выглядит не просто архаичной, но и откровенно вредной. Именно такова позиция троллей-расистов, которые утверждают, что математика — это всего лишь формулы и цифры, и поэтому владение ивритом или любым другим языком обучения не имеет особого значения. Такое заявление не только игнорирует фундаментальные аспекты педагогики, но и демонстрирует невежес…
… показать весь текст …