В футбольном турнире каждая команда сыграла с каждой из остальных ровно по одному разу, причём ровно половина команд ни разу не выиграли, а ровно пятая часть игр закончились вничью.

Сколько команд участвовало в турнире?

Существуют ли простые близнецы, у которых сумма цифр отличается в 5 раз?

Вчрптък157 Натуральное число, превышающее 1, назовём екатериноекатерининским, если оно делится как на число своих делителей, так и на обоих его соседей по натуральному ряду.

Докажите, что екатериноекатерининских чисел бесконечно много.

Эта задача имеет красивое решение в одну строчку, постарайтесь до него додуматься.

Две задачи для развития мозга:
Задача№ 1:
На Ленинградской олимпиаде 1988 года предлагалась следующая задача:
Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.
Тетяна сумела решить более сильную задачу, а именно найти 100-значное число, в десятичной записи которого есть только цифры 8 и 9, кратное сумме своих цифр. Причём Таня сделала это не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Сделайте это и вы!

Задача № 2:
Таня сумела найти два последовательных натуральных числа, каждое из которых равно сумме 5-ых степеней своих цифр, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Попробуйте и вы!
(Число 0 натуральным не является.)

Вопрос в стиле Что? Где? Когда?
Какую неточность допустил Азимов в следующих строках?

"
Период от восхода до восхода несколько больше 24 часов в течение полугода, когда день укорачивается, и немного меньше 24 часов на протяжении другой половины года, когда день удлиняется. Это утверждение также справедливо для периода от захода до захода.
Восход и заход всегда «движутся» в противоположных направлениях: они или сближаются, или удаляются друг от друга.
"

Чвжа Щягуэ, а мяри олщяёвжъ жёяу дяешл эязу!

В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.
Разве этот факт сам по себе уже не повод выбрать профессию математика?

Можно ли, используя в десятичной записи чисел только цифры 2, 3 и 9 (каждая из этих трёх цифр должна быть использована хотя бы раз), записать три натуральных числа, одно из которых равно произведению двух других?

Показалось мне, что

В ИзраИле как в Европе,

Поначалу я был в мандраже…

Эйфория прошла,

И я понял, что я в жопе,

Но менять что-то поздно уже!

Какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности, в которой все числа являются квадратами натуральных чисел и каждое следующее число получается из предыдущего приписыванием к нему слева одной цифры?

Вот, кстати, пример математической задачи, в условии которой нет ни одной цифры и ни одной формулы:

Может ли сумма двух последовательностей с предпериодами быть периодической последовательностью без предпериода?

Это для тех самоуверенных и недалёких троллей, которые утверждают, что иврит якобы не нужен для изучения математики в Израиле, и что можно прямо «с места в карьер» — приехал в Израиль, и на следующий день уже багрут по математике на 5 йехидот сдаёшь!

Между прочим, решается эта задача совсем легко.

Вот мой пример.

Первая последовательность: 0, 1, 1, 1, …

Вторая последовательность: 2, 1, 1, 1, …
… показать весь текст …

У Ани есть шкаф с пятью выдвижными ящиками, пронумерованными сверху вниз 1 — 5.
В каждый ящик она положила ровно один из пяти разных предметов: бутылку, монету, книгу, ключ и лампочку.

Известно, что:

1) Монета находится выше лампочки, но ниже книги.
2) Между бутылкой и лампочкой расположен ровно один ящик.
3) Ключ лежит либо в самом верхнем, либо в самом нижнем ящике.
4) Бутылка расположена выше монеты.
5) Лампочка не соседствует с ключом.

Задание: определите порядок предметов в ящиках (сверху вниз).

Найдите все трёхзначные числа, у которых сумма любых двух цифр даёт остаток 2 при делении на третью.

На доске выписаны цифры: 123456. Дождливая Аня поставила между ними 3 знака умножения так, чтобы получившееся при этом произведение было наибольшим.
Сколько получилось у Ани?

В классе, в котором учится Дождливая Аня, не более 40 человек, причём девочек больше, чем мальчиков.
Аня заметила, что количество девочек, которые учатся без троек (только на «5» и «4»), составляет более 69%, но менее 70% от количества всех девочек в классе. Аналогичная ситуация с мальчиками: более 69%, но менее 70% мальчиков учатся без троек (только на «5» и «4»).
А без двоек учатся более 91%, но менее 92% всего класса.
Сколько девочек и сколько мальчиков в Анином классе?

Две задачки для прогрева мозга:

1)

Если сложить первые n натуральных чисел, то полученная сумма окажется кратной 7. Если же из этих n чисел выбрать только нечётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 5. А если из этих n чисел выбрать только чётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 3. При каком наименьшем натуральном n возможна описанная ситуация?

2)

Расставьте в клетки таблицы 3 на 3 натуральные числа так, чтобы все шесть сумм чисел в строках и столбцах этой таблицы были различны, а сумма всех чисел была равна наименьшей из возможных.

Анастасия Макагеновна родилась в 1988 году, а Дарья Могикановна — в 1989.
Анастасия счастлива, поскольку год её рождения представим в виде суммы точного куба и точного квадрата: (-8)**3+50**2 равно 1988.
Сможете ли вы аналогичным образом осчастливить Дарью Могикановну?