Возможна ли такая раскраска?

Можно ли все точки координатной плоскости с обеими целыми координатами покрасить в красный и синий цвета так, чтобы каждая горизонтальная прямая (с целочисленной ординатой) содержала натуральное число красных точек, а каждая вертикальная прямая (с целочисленной абсциссой) содержала натуральное число синих точек?

(Разумеется, нуль натуральным числом не является.)

«Неправильный» катькулятор (юмористическая история с просторов Сети).

Немного математического юмора (не моё, потыбрено из Интернета и чуток переделано, в частности, изменено имя преподавательницы).

Реальный случай из практики одной из моих знакомых по соцсети. Кстати, её тоже зовут Катя, точнее, Катрин, но это случайное совпадение. Преподаёт эта самая Катрин на «Мехине» — подготовительных курсах одного из израильских ВУЗов. Надо сказать, что на «Мехину» приходят, как правило, ребята и девчата…
… показать весь текст …

а) Докажите, что для любого целого неотрицательного n найдутся три попарно различных натуральных числа, сумма которых даёт остаток n при делении на каждое из слагаемых.

(Татьяна Юрьевна Березюк.)

б) Докажите, что для любого натурального m (большего или равного 3) и любого целого неотрицательного n найдутся m попарно различных натуральных чисел, сумма которых даёт остаток n при делении на каждое из слагаемых.

(По мотивам задачи Татьяны Юрьевны Березюк.)

#кружок₆_класса #делимость_и_остатки #конструкции #примеры_и_контрпримеры #итерации