Арифметика

На доске написано число 3. Каждую минуту Таня приписывает к уже написанному на доске числу одну цифру справа. Причём порядок цифр таков: 9, 6, 4, 9, 6, 4, 9, 6, 4 и так далее (то есть у Тани получаются числа 39, 396, 3964, 39649, …).

Докажите, что Таня не сможет получить точный квадрат спустя конечное количество минут.

Число умножили на сумму его цифр.
Могло ли при этом получиться число
1800. .. 00225 (2025 нулей)?

Таня, Настя, Даша, Лиза, Полина и Кристина получили в подарок в общей сложности 40 книг (каждая книга была подарена ровно одной девочке), причём никакие две девочки не получили одинакового количества книг. Оказалось, что больше всех книг получила Таня, а Полина занимает второе место по количеству полученных книг. Какое наименьшее количество книг могли получить Таня и Полина вместе?

Незнайка утверждает, будто он нашёл натуральное число, кратное 5, имеющее ровно 6 различных натуральных делителей, сумма десятичных цифр которого равна 7.

Немного подумав, Таня, победительница Всететянской математической олимпиады, заявила, что Незнайка ошибается.

Докажите, что Таня права.

(Постарайтесь решить данную задачу в уме, как это сделали Таня и я.)

Две задачи для развития интеллекта:

Задача № 1]:

Существует ли счётное множество натуральных чисел, в котором любые два числа взаимно просты, а любые несколько (конечное количество, большее 1) чисел дают в сумме составное число?

Задача № 2]:

Таня берёт натуральное число, умножает его на 4, затем получившееся число также умножает на 4 и так далее. Если после очередного умножения Таня получает число, содержащее цифру 4 в десятичной записи, она говорит: «Стоп!» и идёт спать.
Например, если вначале Таня взяла число 2, то она сделает ровно 5 умножений: 8, 32, 128, 512, 2048.
Какое наибольшее количество умножений может проделать Таня перед тем как пойти спать?