Настя выписывает цифры по порядку: 12345678901234567890…

а) Докажите, что наступит момент, когда у Насти получится число, кратное 11.

б) При каком наименьшем натуральном N у Насти никогда не получится числа, кратного N?

У Насти есть несколько красивых камушков (не обязательно равных по весу). Для каждого натурального n, не превышающего 5, Настя может распределить эти камушки на две группы так, что камушки в одной группе будут в n раз тяжелее, чем в другой. Какое наименьшее число красивых камушков может быть у Насти?

Настя придумала ребус, в котором фигурирует число ДЕСЯТЬЦИФР.

Дождливая Аня утверждает, что это число — составное.

Права ли Дождливая Аня?

Настя утверждает, что нашла удивительное натуральное число.

А удивительно оно, по мнению Насти, тем, что если записать рядом его квадрат и его куб (без пробела и именно в таком порядке), то получившееся число будет содержать каждую из десятичных цифр ровно по одному разу.

Можно ли верить Насте? И если да, то сколько всего таких удивительных чисел?

Экзамен по матану.
Лиза вызывает четвёрку: Настю, Дашу, Аню и Юлю.
 — Лиза: Объясните метод сведения интеграла к самому себе.
 — Настя: Обозначаем страшный интеграл за букву «ай».
 — Даша: Делаем законные фокусы, и внезапно буква «ай» оказывается и слева, и справа!
 — Аня: Тогда переносим себя налево.
 — Юля: А я останусь справа — я сегодня с плюсом.
 — Лиза: Девочки, это матан, а не рассадка на фото. Дальше?
 — Настя: Собираем всех «себя» в одну сторону: получилось так — ай минус половина ай равно «что-то известное».
 — Даша: Значит ай равно удвоенному «что-то известное».
 — Аня: Константу «С» не забываем. Буква «С» — это «Стипендия».
 — Юля: Или «Свидание». Мы же всё сводили к себе!
 — Лиза: Зачёт. Метод к себе свели — меня почти тоже. Константу «Стипендия» — сводите к себе в бухгалтерии.

Первоклассница Настя умеет писать только цифры 1 и 4. Настя записала этими цифрами несколько чисел. Оказалось, что их сумма равна 2025. Какое наименьшее количество чисел могла написать Настя?