Настя выписывает цифры по порядку: 12345678901234567890…

а) Докажите, что наступит момент, когда у Насти получится число, кратное 11.

б) При каком наименьшем натуральном N у Насти никогда не получится числа, кратного N?

1 раз в 1 тысячу лет
Наступает сегодняшний день,
Это шанс заказать нам билет
В новый свет, убирает что тень…
Ты проснись, улыбнись, поднимись
На восход распрекрасной звезды
И без длинных путей, без езды
Вознесись в обновлённую высь…

Светло-великому дню 02022020 посвящается.

9998989999999999999 — загадочное число от Насти!

Трискайдекафобка Настя обнаружила, что наименьшее натуральное число, которое делится на 13 и сумма цифр которого равна квадрату числа 13, равно 9998989999999999999.

Первые 13 элементов последовательности, в которой энный элемент равен наименьшему натуральному числу, которое делится на n
и сумма цифр которого равна квадрату числа n
, выглядят так:

1, 4, 9, 88, 2995, 19998, 599998, 49999888, 999999999, 1999999999990, 319999999999999, 29999999999999988, 9998989999999999999.

Разумеется, этой последовательности пока нет в OEIS, а числа 9998989999999999999 до сегодняшнего дня не было в Интернете (впрочем, как и слова ТРИСКАЙДЕКАФОБКА).

Ну и дела!
Я уже столько лет езжу на 354-ом автобусе, и только сегодня узнал, что это за волшебное число такое, 354.
Оказывается, если умножить сумму цифр числа 354 на произведение цифр числа 354, получится сумма делителей числа 354.
Действительно, у числа 354 ровно 8 делителей: 1, 2, 3, 6, 59, 118, 177, 354.
Сумма всех этих делителей равна 720, то есть 3*5*4*(3+5+4).

Но что ещё более любопытно, 354 далеко не единственное такое число, таких чисел, оказывается, немало: 1, 62, 138, 354, 435, 644, 1485, 2546, 4826, 5664, 6285, 6474, 9265, …

Наступает великий день —
5-ти двоек — 5-ти лебедей…
Это новый серьёзный шаг
В совершенствовании людей.
И сегодня 7-й уж день
Жидкой трапезы веганской моей —
Это тоже хороший знак —
7 — число Божьих активных идей.
Наступает великий день —
5-ти двоек — 5-ти перемен
В разных сферах и в разных краях…
Это день трансформации стен.
Мы проснёмся, увидим, взлетим —
Светоносцы эволюции дней,
… показать весь текст …