В классе, в котором учится Дождливая Аня, не более 40 человек, причём девочек больше, чем мальчиков.
Аня заметила, что количество девочек, которые учатся без троек (только на «5» и «4»), составляет более 69%, но менее 70% от количества всех девочек в классе. Аналогичная ситуация с мальчиками: более 69%, но менее 70% мальчиков учатся без троек (только на «5» и «4»).
А без двоек учатся более 91%, но менее 92% всего класса.
Сколько девочек и сколько мальчиков в Анином классе?

Две задачки для прогрева мозга:

1)

Если сложить первые n натуральных чисел, то полученная сумма окажется кратной 7. Если же из этих n чисел выбрать только нечётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 5. А если из этих n чисел выбрать только чётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 3. При каком наименьшем натуральном n возможна описанная ситуация?

2)

Расставьте в клетки таблицы 3 на 3 натуральные числа так, чтобы все шесть сумм чисел в строках и столбцах этой таблицы были различны, а сумма всех чисел была равна наименьшей из возможных.

а) Докажите, что для любого целого неотрицательного n найдутся три попарно различных натуральных числа, сумма которых даёт остаток n при делении на каждое из слагаемых.

(Татьяна Юрьевна Березюк.)

б) Докажите, что для любого натурального m (большего или равного 3) и любого целого неотрицательного n найдутся m попарно различных натуральных чисел, сумма которых даёт остаток n при делении на каждое из слагаемых.

(По мотивам задачи Татьяны Юрьевны Березюк.)

#кружок₆_класса #делимость_и_остатки #конструкции #примеры_и_контрпримеры #итерации

Анастасия Макагеновна родилась в 1988 году, а Дарья Могикановна — в 1989.
Анастасия счастлива, поскольку год её рождения представим в виде суммы точного куба и точного квадрата: (-8)**3+50**2 равно 1988.
Сможете ли вы аналогичным образом осчастливить Дарью Могикановну?

Дождливая Аня выписала на доску 5 попарно различных натуральных чисел. Оказалось, что ровно в трёх из них встречается цифра 1, ровно в трёх встречается цифра 2 и ровно в трёх встречается цифра 3. Какова наименьшая возможная сумма всех чисел, выписанных Дождливой Аней?

Всё хорошо — общее два.

Рассмотрим все пятизначные числа (не содержащие 0 — прим. ред.) Разобьем каждое число на две части: первые три цифры и последние две цифры. Затем каждую часть перевернем и перемножим. Например, число 12345 разделится на 123 и 45, которые в обратном порядке записываются как 321 и 54. Полученные числа затем перемножаются (321 * 54 равно 17334). Ваша задача — найти все пятизначные числа, для которых произведение, полученное этим способом, является восьмой степенью целого числа.

Оказалось, что эту задачу нетрудно решить, не пиша компьютерной программы и даже не пользуясь катькулятором! Попробуйте и вы.

Число 2024, равное номеру текущего года, даёт остаток 8 при делении на произведение факториалов своих цифр.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, докажите, что натуральных чисел, дающих остаток 8 при делении на произведение факториалов своих цифр, бесконечно много.

Таня говорит правду, если число чётное, и врёт в противном случае.
Настя наоборот, говорит правду, если число нечётное, и в противном случае врёт.
Увидев написанное на доске натуральное число, эти две девочки сделали следующие высказывания:
Таня: «Это не однозначное число».
Настя: «Это составное число».
Какое число написано на доске?

Вот числа в диапазоне от 1 до 1000, у которых произведение цифр равно квадрату количества делителей, выписанные в виде последовательности через запятую:
1, 9, 41, 82, 88, 218, 236, 248, 292, 422, 824, 836, 928.

Дождливая Аня задумала натуральное число, в десятичной записи которого ни одна из цифр не превышает 3.
При этом:
количество нулей равно сумме количеств единиц и двоек;
количество двоек равно количеству троек;
сумма всех цифр числа равна 27.
Какое наименьшее число могла задумать Аня?

Настя написала трёхзначное число, приписала к нему его же, а у полученного шестизначного числа выписала все натуральные делители.
Затем Даша сделала то же для своего трехзначного числа. Может ли оказаться так, что ровно 12 делителей в их списках совпадут?

Как доказать, что факториал может начинаться с любой наперёд заданной комбинации цифр? В частности, как доказать, что существует факториал, у которого первые миллион цифр равны 1?

— Как дела?
— Рефлексивность, транзитивность, антисимметричность, и любые два элемента сравнимы.
— Что это значит?
— Полный порядок!

Студент мехмата, увидев на карте улицу Лобачевского, говорит:
— Была бы еще улица Параллельная, и, для полного счастья, чтобы они пересеклись.

После многих часов занятий матаном студент в общаге тихо напевает:
— Определенный интеграл, ветер северный…

Учительница на уроке:
-Ребята, должна сказать, что у вас очень плохо обстоят дела с математикой. Я думаю, что 90процентов из вас не напишут годовую
контрольную.
Голос из класса:
— Да нас здесь столько и не наберётся.