Ян Альбертович Дененберг

Дождливая Аня выписала в ряд несколько различных натуральных чисел, меньших 12. Оказалось, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое.
Какое наибольшее количество чисел могла выписать Аня?

А вас не настораживает, что Закон Мура вдруг затих — не умер, не взорвался, не сошёл с ума, а просто… затих? Как будто кто-то аккуратно положил его в ящик стола, рядом с забытыми кольцами и письмами, и запер — на всякий случай.

Он же был как метроном, этот закон: тик — мощность, так — удвоение. Полвека мы жили в уверенности, что скорость будет расти, как температура на экзамене, как тревога перед признанием. А потом — щёлк — и тишина. На поверхности сказали: законы физики, кремний, тепло, грани…
… показать весь текст …

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.

Все мотивационные тренинги устроены одинаково.
Как плохая пьеса, у которой первый акт — бесплатный,
второй — тоже бесплатный,
а третий — внезапно со входом по билету.

Акт первый.
Ты сидишь напротив микрофона, у тебя в руках бумажный стаканчик с холодным кофе, и тебе говорят:
— У тебя всё плохо.
Ты киваешь. Ты не знаешь, как это получилось. А они знают.
Они улыбаются, как будто заранее знают, что ты купишь билет.
— Приходи завтра, расскажем. Бесплатно.

Акт второй.
Ты пришёл.
… показать весь текст …

Назовём прямоугольный параллелепипед дождливым, если у него длины рёбер — натуральные числа, площадь поверхности — точная степень, а объём — квадрат простого числа. Найдите все дождливые прямоугольные параллелепипеды и докажите, что других нет.

Дождливая Аня утверждает, что число 2 является единственным натуральным числом, равным удвоенной сумме своих нечётных делителей.
Помогите Ане это доказать!

Как найти семнадцатое число Резмен?

Числом Резмен назовём всякое положительное целое, у которого, если само это число разделить на количество его делителей (то есть на количество положительных чисел, на которые оно делится без остатка), в результате получится факториал (произведение нескольких подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы).

Известно, что первые шестнадцать таких чисел, упорядоченные по возрастанию, равны:
1, 2, 8, 12, 72, 384, 720, 5760, 6720, 64800, 181440000, 2322432000, 2351462400, 3773952000, 3991680000, 1034643456000.

Требуется выяснить, существует ли семнадцатое число Резмен. Если оно существует, найдите его или покажите, насколько велико оно может быть. Если же никакого семнадцатого числа Резмен на самом деле не существует, докажите это.

Сорок чисел Дождливой Ани.

Дождливая Аня решила найти натуральное число, которое делится на количество своих делителей, причём любое число, получаемое из него отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, обладает тем же свойством.
К своему удивлению, Аня нашла не одно, а целых сорок таких чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 80, 84, 88, 96, 128, 180, 184, 240, 248, 804, 808, 880, 882, 1284, 1800, 1840, 2480, 2488, 8080, 8824, 18000, 18008, 24804, 24880, 80802, 88240, 180000, 180008, 180080, 180088, 1800080, 1800804, 1800880.

Докажите, что Дождливая Аня нашла все такие числа.

На нескольких англоязычных сайтах фигурирует задача, в которой требуется найти следующее число в последовательности 1, 6, 20, 56, …
Авторами, по всей видимости, подразумевалось продолжение …144, однако у меня созрело другое и не менее красивое решение:
Назовём натуральное число привольным, если у него сумма нечётных делителей равна количеству всех делителей. Вот первые 22 привольных числа:

1, 6, 20, 56, 352, 480, 832, 2688, 4352, 9728, 13824, 47104, 67584, 71680, 184320, 319488, 475136, 1015808, 6684672, 7208960, 9699328, 12845056.

Как вам такое решение?
И как найти двадцать третье привольное число?

Настя выписывает цифры по порядку: 12345678901234567890…

а) Докажите, что наступит момент, когда у Насти получится число, кратное 11.

б) При каком наименьшем натуральном N у Насти никогда не получится числа, кратного N?