На какое натуральное число нужно умножить 2025, чтобы у полученного числа было ровно 28 натуральных делителей (включая единицу и само число)? (Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.)

Дождливая Аня сложила k-тые степени первых нескольких натуральных чисел и получила сумму, которая оканчивается цифрой 7.
При каком наименьшем натуральном k такое возможно?

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите хотя бы одно натуральное число, сумма цифр которого уменьшится в 2 раза, если само число возвести в квадрат.

Дождливая Аня выписала в тетрадь несколько последовательных натуральных чисел, 4 из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Какое наименьшее количество чисел могла выписать Аня?

Можно ли доказать что чего-то не существует?

Не существует целых положительных натуральных чисел между числом три и четыре. Как доказать? А это не очевидно? Иногда всякие глупости и доказывать не нужно.

9998989999999999999 — загадочное число от Насти!

Трискайдекафобка Настя обнаружила, что наименьшее натуральное число, которое делится на 13 и сумма цифр которого равна квадрату числа 13, равно 9998989999999999999.

Первые 13 элементов последовательности, в которой энный элемент равен наименьшему натуральному числу, которое делится на n
и сумма цифр которого равна квадрату числа n
, выглядят так:

1, 4, 9, 88, 2995, 19998, 599998, 49999888, 999999999, 1999999999990, 319999999999999, 29999999999999988, 9998989999999999999.

Разумеется, этой последовательности пока нет в OEIS, а числа 9998989999999999999 до сегодняшнего дня не было в Интернете (впрочем, как и слова ТРИСКАЙДЕКАФОБКА).

Если в слове ТЫ заменить каждую букву её номером в русском алфавите, получится простое число: 2029.
Давайте составим «лесенку» из таких «простых» (просточисленных) слов!

1 буква: В равно 3

2 буквы: ТЫ равно 2029

3 буквы: ТУЗ равно 20219

4 буквы: КЛИП равно 12131017

5 букв: ВЕСНА равно 3619151

6 букв: МУЗЫКА равно 1421929121
… показать весь текст …

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, при этом такое, что сумма любых трёх его цифр — простое число.

Приснилось число 50. Тему не помню.
Решил поделить на 2. Вышло 17,5.
Нее, думаю, чё-то не так. Проверю.
Умножил 17,5 на 2.
50, однако.
???

Когда вы сердиты -посчитайте до десяти …

Дождливая Аня выписала в ряд несколько различных натуральных чисел, меньших 12. Оказалось, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое.
Какое наибольшее количество чисел могла выписать Аня?

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.

Назовём прямоугольный параллелепипед дождливым, если у него длины рёбер — натуральные числа, площадь поверхности — точная степень, а объём — квадрат простого числа. Найдите все дождливые прямоугольные параллелепипеды и докажите, что других нет.