Да… Миллиард число с подвохом
Один и девять нулей, десять знаков.
Успеют сделать столько вздохов,
За жизнь свою не многие однако.

Найдите все трёхзначные числа, у которых сумма любых двух цифр даёт остаток 2 при делении на третью.

1
Это число творческих, оригинальных и независимых людей. Твёрдо держатся своих взглядов, обладают силой убеждения. Весьма амбициозны, обладают огромной решимостью и силой воли, которая в действии проявляется как упрямство и своенравность. Достаточно эгоистичны и считают своё мнение выше других. Не успокоятся, пока их требование не будет удовлетворено, поэтому им необходимо тактичное обращение. Часто выступают в роли лидеров и инициаторов — в них силён новаторский дух. Рождённые первого числа оч…
… показать весь текст …

Две задачки для прогрева мозга:

1)

Если сложить первые n натуральных чисел, то полученная сумма окажется кратной 7. Если же из этих n чисел выбрать только нечётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 5. А если из этих n чисел выбрать только чётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 3. При каком наименьшем натуральном n возможна описанная ситуация?

2)

Расставьте в клетки таблицы 3 на 3 натуральные числа так, чтобы все шесть сумм чисел в строках и столбцах этой таблицы были различны, а сумма всех чисел была равна наименьшей из возможных.

Какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности, в которой все числа являются квадратами натуральных чисел и каждое следующее число получается из предыдущего приписыванием к нему слева одной цифры?

Задним числом и дурак умён.

НЕСТЬ ЧИСЛА
Числа им несть — тем, кто взошёл в эмпиреи,
Усердьем своим прорубая препоны —
Талантам — гонимым российским евреям —
Впоследствии, русским великим учёным

Дождливая Аня выписала на доску 5 попарно различных натуральных чисел. Оказалось, что ровно в трёх из них встречается цифра 1, ровно в трёх встречается цифра 2 и ровно в трёх встречается цифра 3. Какова наименьшая возможная сумма всех чисел, выписанных Дождливой Аней?

Докажите, что сумма попарных произведений девяти последовательных целых чисел не может быть точной степенью целого числа, если эта степень выше первой.

Вот числа в диапазоне от 1 до 1000, у которых произведение цифр равно квадрату количества делителей, выписанные в виде последовательности через запятую:
1, 9, 41, 82, 88, 218, 236, 248, 292, 422, 824, 836, 928.

Таня говорит правду, если число чётное, и врёт в противном случае.
Настя наоборот, говорит правду, если число нечётное, и в противном случае врёт.
Увидев написанное на доске натуральное число, эти две девочки сделали следующие высказывания:
Таня: «Это не однозначное число».
Настя: «Это составное число».
Какое число написано на доске?

Число 2024, равное номеру текущего года, даёт остаток 8 при делении на произведение факториалов своих цифр.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, докажите, что натуральных чисел, дающих остаток 8 при делении на произведение факториалов своих цифр, бесконечно много.