Две задачи для развития интеллекта:

Задача № 1]:

Существует ли счётное множество натуральных чисел, в котором любые два числа взаимно просты, а любые несколько (конечное количество, большее 1) чисел дают в сумме составное число?

Задача № 2]:

Таня берёт натуральное число, умножает его на 4, затем получившееся число также умножает на 4 и так далее. Если после очередного умножения Таня получает число, содержащее цифру 4 в десятичной записи, она говорит: «Стоп!» и идёт спать.
Например, если вначале Таня взяла число 2, то она сделает ровно 5 умножений: 8, 32, 128, 512, 2048.
Какое наибольшее количество умножений может проделать Таня перед тем как пойти спать?

Задача № 1:
Таня записала в строку 10 целых чисел. Оказалось, что сумма любых пяти последовательных чисел отрицательна, тогда как сумма любых семи последовательных чисел положительна.

Задача № 2:
У натуральных чисел n и n+1 взяли по собственному делителю. Сумма этих двух собственных делителей оказалась равна 2023. Какое наименьшее значение могло иметь число n?

Задача № 3:
Можно ли разрезать квадрат со стороной 16 на треугольники, сумма периметров которых равна 100?

Задача № 4:
Учительница ма…
… показать весь текст …

Вчрптък157 Натуральное число, превышающее 1, назовём екатериноекатерининским, если оно делится как на число своих делителей, так и на обоих его соседей по натуральному ряду.

Докажите, что екатериноекатерининских чисел бесконечно много.

Эта задача имеет красивое решение в одну строчку, постарайтесь до него додуматься.

Две задачи для развития мозга:
Задача№ 1:
На Ленинградской олимпиаде 1988 года предлагалась следующая задача:
Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.
Тетяна сумела решить более сильную задачу, а именно найти 100-значное число, в десятичной записи которого есть только цифры 8 и 9, кратное сумме своих цифр. Причём Таня сделала это не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Сделайте это и вы!

Задача № 2:
Таня сумела найти два последовательных натуральных числа, каждое из которых равно сумме 5-ых степеней своих цифр, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Попробуйте и вы!
(Число 0 натуральным не является.)

Да… Миллиард число с подвохом
Один и девять нулей, десять знаков.
Успеют сделать столько вздохов,
За жизнь свою не многие однако.

Две задачки для прогрева мозга:

1)

Если сложить первые n натуральных чисел, то полученная сумма окажется кратной 7. Если же из этих n чисел выбрать только нечётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 5. А если из этих n чисел выбрать только чётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 3. При каком наименьшем натуральном n возможна описанная ситуация?

2)

Расставьте в клетки таблицы 3 на 3 натуральные числа так, чтобы все шесть сумм чисел в строках и столбцах этой таблицы были различны, а сумма всех чисел была равна наименьшей из возможных.

Найдите все трёхзначные числа, у которых сумма любых двух цифр даёт остаток 2 при делении на третью.

1
Это число творческих, оригинальных и независимых людей. Твёрдо держатся своих взглядов, обладают силой убеждения. Весьма амбициозны, обладают огромной решимостью и силой воли, которая в действии проявляется как упрямство и своенравность. Достаточно эгоистичны и считают своё мнение выше других. Не успокоятся, пока их требование не будет удовлетворено, поэтому им необходимо тактичное обращение. Часто выступают в роли лидеров и инициаторов — в них силён новаторский дух. Рождённые первого числа оч…
… показать весь текст …

Какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности, в которой все числа являются квадратами натуральных чисел и каждое следующее число получается из предыдущего приписыванием к нему слева одной цифры?

Задним числом и дурак умён.

НЕСТЬ ЧИСЛА
Числа им несть — тем, кто взошёл в эмпиреи,
Усердьем своим прорубая препоны —
Талантам — гонимым российским евреям —
Впоследствии, русским великим учёным

Дождливая Аня выписала на доску 5 попарно различных натуральных чисел. Оказалось, что ровно в трёх из них встречается цифра 1, ровно в трёх встречается цифра 2 и ровно в трёх встречается цифра 3. Какова наименьшая возможная сумма всех чисел, выписанных Дождливой Аней?

Докажите, что сумма попарных произведений девяти последовательных целых чисел не может быть точной степенью целого числа, если эта степень выше первой.

Вот числа в диапазоне от 1 до 1000, у которых произведение цифр равно квадрату количества делителей, выписанные в виде последовательности через запятую:
1, 9, 41, 82, 88, 218, 236, 248, 292, 422, 824, 836, 928.

Таня говорит правду, если число чётное, и врёт в противном случае.
Настя наоборот, говорит правду, если число нечётное, и в противном случае врёт.
Увидев написанное на доске натуральное число, эти две девочки сделали следующие высказывания:
Таня: «Это не однозначное число».
Настя: «Это составное число».
Какое число написано на доске?