Дождливая Аня выписала в тетрадь несколько последовательных натуральных чисел, 4 из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Какое наименьшее количество чисел могла выписать Аня?

В классе девочек более 80%, но менее 81%. Какое наименьшее количество девочек может быть в этом классе?

9998989999999999999 — загадочное число от Насти!

Трискайдекафобка Настя обнаружила, что наименьшее натуральное число, которое делится на 13 и сумма цифр которого равна квадрату числа 13, равно 9998989999999999999.

Первые 13 элементов последовательности, в которой энный элемент равен наименьшему натуральному числу, которое делится на n
и сумма цифр которого равна квадрату числа n
, выглядят так:

1, 4, 9, 88, 2995, 19998, 599998, 49999888, 999999999, 1999999999990, 319999999999999, 29999999999999988, 9998989999999999999.

Разумеется, этой последовательности пока нет в OEIS, а числа 9998989999999999999 до сегодняшнего дня не было в Интернете (впрочем, как и слова ТРИСКАЙДЕКАФОБКА).

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, при этом такое, что сумма любых трёх его цифр — простое число.

Не простая арифметика, когда на избирателе возят воду, а привозят воздух

На нескольких англоязычных сайтах фигурирует задача, в которой требуется найти следующее число в последовательности 1, 6, 20, 56, …
Авторами, по всей видимости, подразумевалось продолжение …144, однако у меня созрело другое и не менее красивое решение:
Назовём натуральное число привольным, если у него сумма нечётных делителей равна количеству всех делителей. Вот первые 22 привольных числа:

1, 6, 20, 56, 352, 480, 832, 2688, 4352, 9728, 13824, 47104, 67584, 71680, 184320, 319488, 475136, 1015808, 6684672, 7208960, 9699328, 12845056.

Как вам такое решение?
И как найти двадцать третье привольное число?

Сорок чисел Дождливой Ани.

Дождливая Аня решила найти натуральное число, которое делится на количество своих делителей, причём любое число, получаемое из него отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, обладает тем же свойством.
К своему удивлению, Аня нашла не одно, а целых сорок таких чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 80, 84, 88, 96, 128, 180, 184, 240, 248, 804, 808, 880, 882, 1284, 1800, 1840, 2480, 2488, 8080, 8824, 18000, 18008, 24804, 24880, 80802, 88240, 180000, 180008, 180080, 180088, 1800080, 1800804, 1800880.

Докажите, что Дождливая Аня нашла все такие числа.

Как найти семнадцатое число Резмен?

Числом Резмен назовём всякое положительное целое, у которого, если само это число разделить на количество его делителей (то есть на количество положительных чисел, на которые оно делится без остатка), в результате получится факториал (произведение нескольких подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы).

Известно, что первые шестнадцать таких чисел, упорядоченные по возрастанию, равны:
1, 2, 8, 12, 72, 384, 720, 5760, 6720, 64800, 181440000, 2322432000, 2351462400, 3773952000, 3991680000, 1034643456000.

Требуется выяснить, существует ли семнадцатое число Резмен. Если оно существует, найдите его или покажите, насколько велико оно может быть. Если же никакого семнадцатого числа Резмен на самом деле не существует, докажите это.

Дождливая Аня утверждает, что число 2 является единственным натуральным числом, равным удвоенной сумме своих нечётных делителей.
Помогите Ане это доказать!

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.

Дождливая Аня выписала в ряд несколько различных натуральных чисел, меньших 12. Оказалось, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое.
Какое наибольшее количество чисел могла выписать Аня?

4, 8, 32, 2312… А есть ли следующий?

У каких примориалов, увеличенных на 2, сумма делителей будет нечётной?
Ясно, что нечётную сумму делителей дают либо квадраты, либо удвоенные квадраты.
Вот первые 4 решения: 4, 8, 32, 2312.
Существует ли пятое и как его найти?

Найдите положительное число, которое образует гармоническую прогрессию вместе со своей целой и дробной частями.

В клетки таблицы размером 3 на 3 Дождливая Аня расставила все цифры от 1 до 9 — по одной в каждую клетку. Затем она вычислила суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по обеим диагоналям.
Какое наибольшее количество из этих восьми сумм могут оказаться квадратами натуральных чисел?

Ну и дела!
Я уже столько лет езжу на 354-ом автобусе, и только сегодня узнал, что это за волшебное число такое, 354.
Оказывается, если умножить сумму цифр числа 354 на произведение цифр числа 354, получится сумма делителей числа 354.
Действительно, у числа 354 ровно 8 делителей: 1, 2, 3, 6, 59, 118, 177, 354.
Сумма всех этих делителей равна 720, то есть 3*5*4*(3+5+4).

Но что ещё более любопытно, 354 далеко не единственное такое число, таких чисел, оказывается, немало: 1, 62, 138, 354, 435, 644, 1485, 2546, 4826, 5664, 6285, 6474, 9265, …

Произведение первых 10 натуральных чисел, имеющих ровно 10 делителей, равно 31432982727264672153600.

Дождливая Аня выписала на доску 4 последовательных натуральных числа (в одну строчку, в порядке возрастания).
Анина подруга Настя под каждым из выписанных Аней чисел решила написать количество его делителей. У Насти получилось 4, 6, 7, 8.
Докажите, что Настя ошиблась.

Назовём натуральное число сверхпроводящим, если у него сумма цифр, умноженная на произведение цифр, равна количеству делителей. Вот первые шесть сверхпроводящих чисел: 1, 11, 12, 1111, 121212, 1121211.