Дождливая Аня сложила k-тые степени первых нескольких натуральных чисел и получила сумму, которая оканчивается цифрой 7.
При каком наименьшем натуральном k такое возможно?

На какое натуральное число нужно умножить 2025, чтобы у полученного числа было ровно 28 натуральных делителей (включая единицу и само число)? (Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.)

Дождливая Аня выписала в тетрадь несколько последовательных натуральных чисел, 4 из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Какое наименьшее количество чисел могла выписать Аня?

В классе девочек более 80%, но менее 81%. Какое наименьшее количество девочек может быть в этом классе?

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, при этом такое, что сумма любых трёх его цифр — простое число.

На нескольких англоязычных сайтах фигурирует задача, в которой требуется найти следующее число в последовательности 1, 6, 20, 56, …
Авторами, по всей видимости, подразумевалось продолжение …144, однако у меня созрело другое и не менее красивое решение:
Назовём натуральное число привольным, если у него сумма нечётных делителей равна количеству всех делителей. Вот первые 22 привольных числа:

1, 6, 20, 56, 352, 480, 832, 2688, 4352, 9728, 13824, 47104, 67584, 71680, 184320, 319488, 475136, 1015808, 6684672, 7208960, 9699328, 12845056.

Как вам такое решение?
И как найти двадцать третье привольное число?

Дождливая Аня выписала в ряд несколько различных натуральных чисел, меньших 12. Оказалось, что в любой паре соседних чисел одно из них делится на другое.
Какое наибольшее количество чисел могла выписать Аня?

Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.

Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:

2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.

а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.

б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.

Дождливая Аня утверждает, что число 2 является единственным натуральным числом, равным удвоенной сумме своих нечётных делителей.
Помогите Ане это доказать!

Как найти семнадцатое число Резмен?

Числом Резмен назовём всякое положительное целое, у которого, если само это число разделить на количество его делителей (то есть на количество положительных чисел, на которые оно делится без остатка), в результате получится факториал (произведение нескольких подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы).

Известно, что первые шестнадцать таких чисел, упорядоченные по возрастанию, равны:
1, 2, 8, 12, 72, 384, 720, 5760, 6720, 64800, 181440000, 2322432000, 2351462400, 3773952000, 3991680000, 1034643456000.

Требуется выяснить, существует ли семнадцатое число Резмен. Если оно существует, найдите его или покажите, насколько велико оно может быть. Если же никакого семнадцатого числа Резмен на самом деле не существует, докажите это.

Сорок чисел Дождливой Ани.

Дождливая Аня решила найти натуральное число, которое делится на количество своих делителей, причём любое число, получаемое из него отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, обладает тем же свойством.
К своему удивлению, Аня нашла не одно, а целых сорок таких чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 80, 84, 88, 96, 128, 180, 184, 240, 248, 804, 808, 880, 882, 1284, 1800, 1840, 2480, 2488, 8080, 8824, 18000, 18008, 24804, 24880, 80802, 88240, 180000, 180008, 180080, 180088, 1800080, 1800804, 1800880.

Докажите, что Дождливая Аня нашла все такие числа.

Не простая арифметика, когда на избирателе возят воду, а привозят воздух

В клетки таблицы размером 3 на 3 Дождливая Аня расставила все цифры от 1 до 9 — по одной в каждую клетку. Затем она вычислила суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по обеим диагоналям.
Какое наибольшее количество из этих восьми сумм могут оказаться квадратами натуральных чисел?

4, 8, 32, 2312… А есть ли следующий?

У каких примориалов, увеличенных на 2, сумма делителей будет нечётной?
Ясно, что нечётную сумму делителей дают либо квадраты, либо удвоенные квадраты.
Вот первые 4 решения: 4, 8, 32, 2312.
Существует ли пятое и как его найти?