любимые числа, не являющиеся числом Пи.
(по мнению ученых)
-----------------------------------

Будучи отношением длины окружности к её диаметру, число не является рациональным, то есть его нельзя представить в виде простой дроби. Оно также является трансцендентным, то есть не является корнем или решением какого-либо полиномиального уравнения, например x+2X2+3 0.

Число Пи, возможно, является одним из самых известных чисел, но для людей, которым платят за то, что они целыми днями думают о числах, постоянная Эйлера может быть немного скучной. Мы попросили нескольких математиков назвать свои любимые числа, не являющиеся числом Пи. Вот некоторые из их ответов.

Тау

Два пирога с крыжовником. Тау.
В день Пи люди часто едят пироги.

Знаете, что круче, чем один пирог? … Два пирога. Другими словами, два раза по пи, или число «тау», которое примерно равно 6,28.

«Использование тау делает каждую формулу более понятной и логичной, чем использование пи», — сказал Джон Бейз, математик из Калифорнийского университета в Риверсайде. «Наше внимание к пи, а не к 2пи — историческая случайность».

«Тау — это то, что проявляется в самых важных формулах», — сказал он.

В то время как число пи связывает длину окружности с её диаметром, число тау связывает длину окружности с её радиусом, и многие математики утверждают, что эта связь гораздо важнее. Число тау также делает, казалось бы, несвязанные уравнения симметричными, например, уравнение площади круга и уравнение, описывающее кинетическую и потенциальную энергию.

Но в День числа Пи не забудут и о Тау! По традиции Массачусетский технологический институт опубликует результаты в 18:28 28 июня, наступит День числа Тау.

Натуральное бревно
Натуральный логарифм обозначается символом «e».

Основание натуральных логарифмов, обозначаемое буквой «e» в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера, жившего в XVIII веке, может быть не так известно, как число Пи, но у него тоже есть свой праздник. Так, если число 3,14 празднуют 14 марта, то основание натурального логарифма — иррациональное число, начинающееся с 2,718, — чествуют 7 февраля.

Основание натуральных логарифмов чаще всего используется в уравнениях, включающих логарифмы, экспоненциальный рост и комплексные числа.

«[Это] замечательное определение: это единственное число, для которого экспоненциальная функция y ex имеет наклон, равный своему значению в каждой точке», — Кит Девлин, почётный профессор и бывший директор проекта по популяризации математики Стэнфордского университета в Высшей школе образования, рассказал Live Science. Другими словами, если значение функции в определённой точке равно, скажем, 7,5, то её наклон, или производная, в этой точке также равен 7,5. И «как и число пи, оно постоянно встречается в математике, физике и инженерии», — сказал Девлин.

Мнимое число i.

Уберите «p» из «пи», и что вы получите? Верно, число i. Нет, на самом деле это работает не так, но i — довольно крутое число. Это квадратный корень из -1, а значит, оно нарушает правила, так как нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

«Тем не менее, если мы нарушим это правило, то сможем изобрести мнимые числа и, следовательно, комплексные числа, которые одновременно красивы и полезны», — Евгения Ченг, математик из Школы искусств Института Чикаго, рассказала Live Science в электронном письме. (Комплексные числа можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей.)

Мнимое число i — исключительно странное число, потому что у -1 есть два квадратных корня: i и -i, — сказал Ченг. «Но мы не можем сказать, какой из них какой!» Математикам приходится просто выбирать один квадратный корень и называть его i, а другой — -i.

«Это странно и чудесно», — сказал Ченг.

Число i, возведённое в степень i, на самом деле является действительным числом, примерно равным 0,207. (Изображение предоставлено Shutterstock)

Хотите верьте, хотите нет, но есть способы сделать i ещё более странным. Например, вы можете возвести i в степень i — другими словами, взять квадратный корень из -1, возведённого в степень квадратного корня из -1.

«На первый взгляд это выглядит как самое невероятное число из возможных — мнимое число, возведённое в мнимую степень», — Дэвид Ричесон, профессор математики в колледже Дикинсон в Пенсильвании и автор книги «Истории о невозможном: 2000-летнее стремление решить математические задачи древности» (Princeton University Press, 2019), рассказал Live Science. «Но на самом деле, как писал Леонард Эйлер в письме 1746 года, это действительное число!»

Чтобы найти значение i в степени i, нужно переставить местами тождество Эйлера — формулу, связывающую иррациональное число e, мнимое число i и синус и косинус заданного угла. Если вы решите формулу для угла в 90 градусов (который можно выразить как /2), то сможете упростить уравнение и показать, что i в степени i равно e в степени, обратной /2.

Звучит запутанно (вот полный расчёт, если вы осмелитесь его прочитать), но результат равен примерно 0,207 — вполне реальное число. По крайней мере, в случае угла в 90 градусов.

«Как заметил Эйлер, i в степени i не имеет единственного значения, — сказал Ричсон, — а принимает „бесконечно много“ значений в зависимости от угла, который вы вычисляете. (Из-за этого маловероятно, что мы когда-нибудь будем отмечать „день i в степени i“.)

Простое число Бельфегора

Изображение демона Бельфегора, демона открытий и гениальных изобретений, который часто принимает облик молодой женщины, работы Дж. А. С. Коллина де Планси.
Простое число Бельфегора, названное в честь демона, является палиндромным простым числом с цифрой 666 в середине. (Изображение предоставлено Луи Ле Бретоном/"Адский словарь»)

Простое число Бельфегора — это палиндромное простое число, в котором 666 спрятано между 13 нулями и 1 с каждой стороны. Зловещее число можно сократить до 1 0 (13) 666 0 (13) 1, где (13) обозначает количество нулей между 1 и 666.

Хотя он и не «открыл» это число, учёный и писатель Клифф Пиковер сделал зловещее на вид число знаменитым, назвав его в честь Бельфегора (или Бельфегеры), одного из семи адских князей из Библии.

У этого числа, по-видимому, даже есть свой дьявольский символ, который выглядит как перевёрнутый символ числа пи. Согласно веб-сайту Пиковера, этот символ происходит от глифа из загадочной рукописи Войнича — сборника иллюстраций и текста начала XV века, который, похоже, никто не понимает.

2{алеф0}

бесконечность-символ-галактика-02
Существует множество видов бесконечности, и 2{алеф0} — это число, описывающее размер конкретного бесконечного множества.

Гарвардский математик У. Хью Вудин посвятил много лет исследованиям бесконечных чисел. Поэтому неудивительно, что его любимое число — бесконечное: 2{алеф0}, или 2 в степени алеф-ноль, также называемой алеф-нуль. Числа алеф используются для описания размеров бесконечных множеств, где множество — это любая совокупность различных объектов в математике. (Так, например, числа 2, 4 и 6 могут образовывать множество из трёх элементов.)

Что касается того, почему Вудин выбрал это число, он сказал: «Осознание того, что 2{алеф0} не является алеф0 (то есть теорема Кантора) — это осознание того, что существуют разные виды бесконечности. Поэтому концепция 2{алеф0} довольно необычна».

Другими словами, всегда есть что-то большее: бесконечные кардинальные числа бесконечны, поэтому не существует такого понятия, как «наибольшее кардинальное число».

Неизменный аперитив

Атомное ядро с вращающимися по орбите электронами.
Постоянная Апери — это иррациональное число, которое начинается с 1,2020569 и продолжается бесконечно. Оно встречается в физических уравнениях, описывающих магнетизм и электрон. (Изображение предоставлено: Ian Cuming/Getty Images)

Математик из Гарварда Оливер Книл рассказал Live Science, что его любимое число — это константа Апери (дзета (3)), «потому что с ней до сих пор связано несколько загадок». В 1979 году французский математик Роже Апери доказал, что значение, которое впоследствии стало известно как константа Апери, является иррациональным числом. (Оно начинается с 1,2020569 и продолжается бесконечно.) Константа также записывается как дзета (3), где дзета (3) — это дзета-функция Римана, в которую подставлено число 3.

Одна из важнейших нерешённых задач в математике, гипотеза Римана, предсказывает, когда дзета-функция Римана становится равной нулю, и, если она будет доказана, позволит математикам лучше предсказывать распределение простых чисел.

Дзета-функция Римана_furfur

О гипотезе Римана известный математик 20 века Дэвид Гильберт однажды сказал: «Если бы я проснулся после тысячелетнего сна, моим первым вопросом было бы: «Доказана ли гипотеза Римана?»

Так что же такого особенного в этой константе? Оказывается, константа Апери встречается в интересных местах в физике, в том числе в уравнениях, описывающих магнетизм электрона и его ориентацию по угловому моменту.

Число 1

Плавающее 3D число 1s.
Число 1 обладает множеством интересных свойств, например, оно является единственным числом, которое не является ни простым, ни делимым на два числа. (Изображение предоставлено Shutterstock)

Эд Летцер, математик из Университета Темпл в Филадельфии (и отец бывшего автора Live Science Рафи Летцера), дал практический совет:

«Полагаю, это скучный ответ, но я бы выбрал единицу в качестве своего любимого числа, как в качестве числа, так и в различных ролях, которые оно играет в самых разных более абстрактных контекстах», — сказал он в интервью Live Science.

Единица — это единственное число, на которое все остальные числа делятся без остатка. Это единственное число, которое делится ровно на одно положительное целое число (само на себя, на 1). Это единственное положительное целое число, которое не является ни простым, ни составным.

И в математике, и в инженерии значения часто выражаются числами от 0 до 1: «100%" — это просто красивый способ сказать «1». Это целое и полное.

И, конечно же, во всех науках единица используется для обозначения базовых единиц. Говорят, что у одного протона заряд +1. В двоичной логике единица означает «да». Это атомный номер самого лёгкого элемента и длина прямой линии.

Личность Эйлера

Леонард Эйлер был швейцарским математиком, и его тождество связывает три удивительных числа: пи, натуральный логарифм и i.(Изображение: Якоб Эмануэль Хандманн/Wikimedia Commons)

Тождество Эйлера, которое на самом деле является уравнением, — настоящая математическая жемчужина, по крайней мере, так его описывал покойный физик Ричард Фейнман. Его также сравнивали с шекспировским сонетом.

В двух словах, тождество Эйлера связывает между собой ряд математических констант: число пи, натуральный логарифм e и мнимую единицу i.

«[Это] связывает эти три константы с аддитивной тождественной величиной 0 и мультипликативной тождественной величиной элементарной арифметики: e{i*Pi} + 1 0», — сказал Девлин.

Число 0

дорожный знак с цифрой 0 внутри
У нуля может быть много полезных свойств, но эта концепция появилась на удивление поздно. (Изображение предоставлено: Fernando Trabanco Fotografa/Getty)

Если мы уже говорим о том, насколько удивительна цифра 1, то почему бы не добавить ещё более странную и крутую цифру 0? На протяжении большей части письменной истории человечества концепция нуля не была такой уж важной. Согласно Университету Сент-Эндрюс в Шотландии, на глиняных табличках времён Древнего Вавилона не всегда различали такие числа, как 216 и 2106.

Древние греки начали развивать идею использования нуля в качестве индикатора пустого места для различения чисел разной величины, но только в VII веке индийские математики, такие как Брахмагупта, начали описывать современную концепцию нуля. Брахмагупта писал, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю, но он затруднялся с делением, говоря, что число n, делённое на ноль, равно n/0, а не современному ответу, согласно которому результат не определён. (К 665 году н. э. майя также независимо от других народов пришли к понятию нуля.)

Ноль чрезвычайно полезен, но многим людям очень сложно понять эту концепцию. В нашей повседневной жизни мы сталкиваемся с такими примерами, как 1 лошадь или 3 курицы, но использование числа для обозначения пустоты — это более серьёзный концептуальный скачок. «Ноль существует в сознании, но не в мире чувств», — сказал Vox (Каплан умер в 2021 году). Тем не менее, без 0 (и 1) мы не смогли бы представить весь цифровой двоичный код, благодаря которому функционирует наш современный мир. (Данные в компьютерах представлены в виде последовательностей 0 и 1.)

Квадратный корень из 2

Пифагор, Платон и Аристотель в тогах, чёрно-белая гравюра
На этой картине Рафаэля изображены философы из Афинской школы, в том числе Платон, Аристотель и Пифагор, которому приписывают открытие квадратного корня из 2. (Изображение предоставлено: mikroman6/Getty)

Квадратный корень из 2, возможно, самое опасное число из когда-либо придуманных, предположительно привёл к первому в истории математическому убийству. Согласно Кембриджскому университету, греческий математик Гиппас из Метапонта считается первооткрывателем этого числа в V веке до н. э. Говорят, что, работая над отдельной задачей, Гиппас наткнулся на тот факт, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике, две стороны которого равны 1 единице, гипотенуза равна 2, что является иррациональным числом.

Согласно легенде, современники Гиппаса, члены квазирелигиозного ордена пифагорейцев, узнав о его великом открытии, бросили его в море. Это произошло потому, что пифагорейцы считали, что «всё есть число» и что во Вселенной есть только целые числа и их отношения. Иррациональные числа, такие как 2 (и), которые нельзя выразить как отношение целых чисел и которые бесконечно продолжаются после запятой, считались мерзостью.

В наши дни мы относимся к 2 немного спокойнее и часто называем его константой Пифагора. Она начинается с 1,4142135623… (и, конечно, продолжается бесконечно).) Константа Пифагора имеет множество применений. Помимо доказательства существования иррациональных чисел, она используется Международной организацией по стандартизации (ISO) для определения формата бумаги A. Определение 216 формата бумаги A гласит, что длина листа, делённая на его ширину, должна равняться 1,4142. Это означает, что лист бумаги формата A1, разделённый пополам по ширине, даст два листа формата A2. Если снова разделить лист формата A2 пополам, получится два листа формата A3, и так далее.

Кусочек пи

числа пи до 15 знаков на красном, жёлтом, зелёном фоне
НАСА использует усечённую оценку числа Пи, которая включает только 15 знаков после запятой. Это всё, что нужно агентству, чтобы добраться до любого места в космосе. (Изображение предоставлено: NASA/JPL)

Иногда число, более крутое, чем пи, — это… усечённая версия пи. По крайней мере, так считают НАСА и учёные из Лаборатории реактивного движения (JPL) в Калифорнии. Для межпланетной навигации JPL использует число 3,141592653589793, по словам главного инженера JPL по операциям и научным исследованиям Марка Реймана. По словам Реймана, при таком уровне точности НАСА может доставлять всё, что оно создаёт, куда угодно.

Чтобы понять почему, полезно немного посчитать. Самый удалённый от Земли космический аппарат — «Вояджер-1», который находится на расстоянии более 14,6 миллиарда миль (23,5 миллиарда километров) от нас. На таком расстоянии вы можете вычислить окружность круга, диаметр которого составляет примерно 94 миллиарда миль (более 150 миллиардов километров), но добавление дополнительных десятичных знаков к числу пи лишь уменьшит погрешность вычислений на полдюйма (1,2 сантиметра), сказал Рейман.

По словам Реймана, даже если бы учёные захотели вычислить радиус окружности размером с известную Вселенную с точностью до ширины атома водорода, для достижения такой точности потребовалось бы всего 37 цифр после запятой.