В мире трёхзначных чисел,
увы, не встречают рассвет…
Не стоит искать смысл
там, где его нет!

Сегодня магическое число 13.3.13!!!
Чертовая дужина-дважды, да еще и утроенная…

Может ли с облака упасть всего лишь одна капля?
Если нет — то какое минимальное количество капель должно упасть с облака?
Если это минимальное количество определено научно — то не является ли полученная цифра некой константой, имеющей ту же сакральность, что и числа Фибоначчи? И не может ли стать открытие этой константы прорывом в науке?

Задумав некоторое натуральное число n, Дождливая Аня сложила n последовательных натуральных чисел, потом n следующих чисел, после чего полученные суммы перемножила.
Докажите, что в результате у Ани не мог получиться десятичный репьюнит (то есть число, в десятичной записи которого используется только цифра 1).

Сколько цифр понадобится, чтобы записать все натуральные числа, меньшие 10 в степени 22?

Ответ: понадобится 218888888888888888888889 цифр.

Дождливая Аня написала в своей тетради 40 натуральных чисел, использовав для этого ровно 57 цифр. Оказалось, что ровно 24 из написанных Аней чисел содержат цифру 1, а ровно 25 содержат цифру 3.
Докажите, что Аня написала хотя бы одно простое число.

Найдите наименьшее количество натуральных чисел сумма кубов которых равна 2025.

Задача № 1:
На дошц написано число 321321321321. Як цифри треба стерти, щоб отримати найбльше можливе число, яке длиться на 36?
На доске написано число 321321321321. Какие цифры нужно стереть, чтобы получить наибольшее возможное число, которое делится на 36?

Задача № 2:
(По мотивам задачи Валерия Анатольевича Сендерова, светлая ему память!)
Взаимно простые натуральные числа x, y, z
удовлетворяют уравнению
x2+y2 равно z4.
Докажите, что xy
делится на 168, то есть кратно количеству часов в недел…
… показать весь текст …

Мне очень нравится число 21, наверное, в прошлой жизни я был очковой змеёй!)

Небрежно расчёсанные числа — 4 шага и 7 ударов сердца

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 7, состоит из четырёх различных цифр, и его цифры образуют арифметическую прогрессию.

Рассмотрите два случая:

1) Цифры образуют прогрессию в некотором порядке;

2) Цифры образуют прогрессию в том порядке, в каком стоят в числе.

Не всегда стоит считать, иногда следует идти поверх чисел.

Три задачки для поднятия настроения («три» в данном случае не является глаголом), все их можно решить, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором:

№ 1:
Найдите наименьшее натуральное число, в котором участвуют только цифры 6 и 7 в равном количестве, и кратное 6 и 7.

№ 2:
Существует ли наибольшее целое число, любые 3 последовательные цифры которого образуют натуральное число, кратное 11?

№ 3:
Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа произведения всех натуральных чисел от 1 до 68 (включительно), чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 68?

Бонус, задача-шутка:
Сколько у кошек усов?

Задача-шутка об игральном кубике:
Как расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 на гранях кубика так, чтобы сумма всех пар чисел на соседних гранях была максимальной?

Назовём натуральное число дождливым, если оно на 2 больше некоторого простого числа. Пару дождливых чисел назовём золотой, если и сумма, и разность чисел в этой паре также являются дождливыми числами (разность берётся со знаком «плюс»). Найдите все золотые пары и докажите, что других нет.

а) Докажите, что для любого натурального n, большего или равного 2, существует n таких попарно различных составных натуральных чисел, что сумма любых n-1 из них кратна количеству делителей оставшегося.

б) Та же задача, но все n чисел должны быть ещё и попарно взаимно простыми.

Британские ученые доказали, что 100 500 человек прочитали это число как стопицот.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, представьте число 2025 в виде суммы четырёх натуральных слагаемых так, чтобы все цифры в записи всех этих слагаемых были различны (необходимо использовать все 10 цифр).

Может ли число, в десятичной записи которого есть только цифры 1 и 0, иметь ровно 10 делителей?
Оказывается, может!
У числа 11101101111 ровно 10 делителей!

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, можно ли расставить целые числа от 1 до 22 по кругу так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих чисел была простым числом.