Традиционная точка зрения состоит в том, что познание есть «отражение» реальной действительности в человеческих понятиях.

Заметим, что термин «отражение» выбран при этом крайне неудачно, так как он ассоциируется с «зеркальным отражением», с «копированием», с «воспроизведением», на самом же деле процесс познания сущности явлений не имеет ничего общего с «отражением», понимаемом в указанном выше смысле. Не спасают и никакие дополнительные разъяснения, будто «отражение» следует понимать не как неп…
… показать весь текст …

Две задачи для развития интеллекта:

Задача № 1]:

Существует ли счётное множество натуральных чисел, в котором любые два числа взаимно просты, а любые несколько (конечное количество, большее 1) чисел дают в сумме составное число?

Задача № 2]:

Таня берёт натуральное число, умножает его на 4, затем получившееся число также умножает на 4 и так далее. Если после очередного умножения Таня получает число, содержащее цифру 4 в десятичной записи, она говорит: «Стоп!» и идёт спать.
Например, если вначале Таня взяла число 2, то она сделает ровно 5 умножений: 8, 32, 128, 512, 2048.
Какое наибольшее количество умножений может проделать Таня перед тем как пойти спать?

Незнайка утверждает, будто он нашёл натуральное число, кратное 5, имеющее ровно 6 различных натуральных делителей, сумма десятичных цифр которого равна 7.

Немного подумав, Таня, победительница Всететянской математической олимпиады, заявила, что Незнайка ошибается.

Докажите, что Таня права.

(Постарайтесь решить данную задачу в уме, как это сделали Таня и я.)

В футбольном турнире каждая команда сыграла с каждой из остальных ровно по одному разу, причём ровно половина команд ни разу не выиграли, а ровно пятая часть игр закончились вничью.

Сколько команд участвовало в турнире?

Таня записывает числа первых понедельников в течение некоторого невисокосного года. Каждый месяц она записывает число, на которое приходится первый понедельник месяца, а в конце года складывает все двенадцать записанных чисел. Какая наименьшая сумма могла получиться у Тани за весь год?

Изменится ли ответ, если рассматривать високосный год?

Неудивительно что теория вероятности до сих пор числится в теориях. На практике её не существует.

В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.
Разве этот факт сам по себе уже не повод выбрать профессию математика?

Тангенс- это перекосинувшийся синус.

Можно ли, используя в десятичной записи чисел только цифры 2, 3 и 9 (каждая из этих трёх цифр должна быть использована хотя бы раз), записать три натуральных числа, одно из которых равно произведению двух других?

Вот, кстати, пример математической задачи, в условии которой нет ни одной цифры и ни одной формулы:

Может ли сумма двух последовательностей с предпериодами быть периодической последовательностью без предпериода?

Это для тех самоуверенных и недалёких троллей, которые утверждают, что иврит якобы не нужен для изучения математики в Израиле, и что можно прямо «с места в карьер» — приехал в Израиль, и на следующий день уже багрут по математике на 5 йехидот сдаёшь!

Между прочим, решается эта задача совсем легко.

Вот мой пример.

Первая последовательность: 0, 1, 1, 1, …

Вторая последовательность: 2, 1, 1, 1, …
… показать весь текст …

Какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности, в которой все числа являются квадратами натуральных чисел и каждое следующее число получается из предыдущего приписыванием к нему слева одной цифры?

На доске выписаны цифры: 123456. Дождливая Аня поставила между ними 3 знака умножения так, чтобы получившееся при этом произведение было наибольшим.
Сколько получилось у Ани?

В классе, в котором учится Дождливая Аня, не более 40 человек, причём девочек больше, чем мальчиков.
Аня заметила, что количество девочек, которые учатся без троек (только на «5» и «4»), составляет более 69%, но менее 70% от количества всех девочек в классе. Аналогичная ситуация с мальчиками: более 69%, но менее 70% мальчиков учатся без троек (только на «5» и «4»).
А без двоек учатся более 91%, но менее 92% всего класса.
Сколько девочек и сколько мальчиков в Анином классе?

Две задачки для прогрева мозга:

1)

Если сложить первые n натуральных чисел, то полученная сумма окажется кратной 7. Если же из этих n чисел выбрать только нечётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 5. А если из этих n чисел выбрать только чётные и сложить их, то полученная сумма окажется кратной 3. При каком наименьшем натуральном n возможна описанная ситуация?

2)

Расставьте в клетки таблицы 3 на 3 натуральные числа так, чтобы все шесть сумм чисел в строках и столбцах этой таблицы были различны, а сумма всех чисел была равна наименьшей из возможных.

Анастасия Макагеновна родилась в 1988 году, а Дарья Могикановна — в 1989.
Анастасия счастлива, поскольку год её рождения представим в виде суммы точного куба и точного квадрата: (-8)**3+50**2 равно 1988.
Сможете ли вы аналогичным образом осчастливить Дарью Могикановну?

а) Докажите, что для любого целого неотрицательного n найдутся три попарно различных натуральных числа, сумма которых даёт остаток n при делении на каждое из слагаемых.

(Татьяна Юрьевна Березюк.)

б) Докажите, что для любого натурального m (большего или равного 3) и любого целого неотрицательного n найдутся m попарно различных натуральных чисел, сумма которых даёт остаток n при делении на каждое из слагаемых.

(По мотивам задачи Татьяны Юрьевны Березюк.)

#кружок₆_класса #делимость_и_остатки #конструкции #примеры_и_контрпримеры #итерации

Дождливая Аня выписала на доску 5 попарно различных натуральных чисел. Оказалось, что ровно в трёх из них встречается цифра 1, ровно в трёх встречается цифра 2 и ровно в трёх встречается цифра 3. Какова наименьшая возможная сумма всех чисел, выписанных Дождливой Аней?

Вот числа в диапазоне от 1 до 1000, у которых произведение цифр равно квадрату количества делителей, выписанные в виде последовательности через запятую:
1, 9, 41, 82, 88, 218, 236, 248, 292, 422, 824, 836, 928.

Таня говорит правду, если число чётное, и врёт в противном случае.
Настя наоборот, говорит правду, если число нечётное, и в противном случае врёт.
Увидев написанное на доске натуральное число, эти две девочки сделали следующие высказывания:
Таня: «Это не однозначное число».
Настя: «Это составное число».
Какое число написано на доске?

Число 2024, равное номеру текущего года, даёт остаток 8 при делении на произведение факториалов своих цифр.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, докажите, что натуральных чисел, дающих остаток 8 при делении на произведение факториалов своих цифр, бесконечно много.