Две задачи для тренировки мозга:

Задача № 1:
Таня выписала (по одному разу) все натуральные числа от 1 до n (включительно) в некотором порядке. Оказалось, что никакая сумма нескольких написанных подряд чисел не кратна n+1.
При каких натуральных n такое возможно?

Задача № 2:
Первоклассница Таня знает только цифры 1 и 2. Сможет ли Таня написать 10-значное число, кратное 2023?

2010 год и я смотрю…
Смотрю на Сочи, но его … не узнаю
Объектов олимпийских здесь… уже не счесть
Ещё четыре года есть…
А сделать то ещё чуть — чуть осталось:
Осталось 26 катков
50 трамплинов для прыжков
Срубить 60 гектаров леса
Три пятых Адлера снести
Снег из Сибири завести
И под лыжню расчистить место
Осталось в Сочинский дурдом
На месяц втиснуть Русский дом
На север горы сдвинуть малость…
… показать весь текст …

а) Докажите, что для любого натурального n, большего или равного 2, существует n таких попарно различных составных натуральных чисел, что сумма любых n-1 из них кратна количеству делителей оставшегося.

б) Та же задача, но все n чисел должны быть ещё и попарно взаимно простыми.

21 февраля в Сочи позвонил президент Эстонии и поздравил всех с открытием Олимпиады.

А снег, для зимней олимпиады в Сочи, доставляли оптом из Норильска :-) :-d

На Олимпиаде победит дружба народов Китая.

Теперь как-то стало всем понятнее, сколько стоит запустить олимпийский факел в космос… Застраховали его аж на 2 млрд рублей.

а) Задумано три натуральных числа так, что ПРОИЗВЕДЕНИЕ любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

б) Задумано три натуральных числа так, что СУММА любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

250 студентов поехали на картошку, причём у каждого из них ровно 4 друга среди остальных.

По окончании уборочных работ оказалось, что ровно 188 студентов перевыполнили план.

Докажите, что найдётся студент, у которого все четверо друзей перевыполнили план.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, можно ли расставить целые числа от 1 до 22 по кругу так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих чисел была простым числом.

Докажите, что в каждом натуральном числе, кратном 111111, обязательно найдутся две одинаковые цифры.

Попробуйте сделать это не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

(Для меньших репьюнитов утверждение неверно. Например, 1234987650 делится на 11111, 1234786509 делится на 1111 (а значит, на 11 и 1), 1234675089 делится на 111.)

Семь с половиной лет ковыряния в жопе или как Россия готовится к Олимпиаде.

Принято решение передать Мутко в руки чистых российских спортсменов, отстраненных от олимпиад, для подготовки Виталия Леонтьевича к паралимпиаде.

Возможна ли такая раскраска?

Можно ли все точки координатной плоскости с обеими целыми координатами покрасить в красный и синий цвета так, чтобы каждая горизонтальная прямая (с целочисленной ординатой) содержала натуральное число красных точек, а каждая вертикальная прямая (с целочисленной абсциссой) содержала натуральное число синих точек?

(Разумеется, нуль натуральным числом не является.)

На трибунах становится тише…
Тает быстрое время чудес.
До свиданья, наш ласковый Миша,
Возвращайся в свой сказочный лес.
Не грусти, улыбнись на прощанье,
Вспоминай эти дни, вспоминай…
Пожелай исполненья желаний,
Новой встречи нам всем пожелай.

Расстаются друзья.
Остается в сердце нежность…
Будем песню беречь.
До свиданья, до новых встреч.
… показать весь текст …

Завидую тем, кто сейчас работает на Олимпиаде. Столько женихов со всего мира-только успевай строить глазки и раздавать номер телефона.

Так приятно, когда чемпионат России по лыжам проходит прямо на Олимпийских играх в Сочи!

Таня выписала в тетрадь натуральное число, в котором больше трёх цифр. Затем Таня стёрла три последние цифры этого числа, сложила получившееся число с исходным, прибавила 1 и в результате получила примориал. Какой именно и почему?

Девятилетняя Даша всегда с увлечением занималась изучением русского языка. Она любила читать книги, решать сложные грамматические задачи и писать сочинения. Поэтому, когда в школе объявили о проведении олимпиады по русскому языку, она с радостью приняла участие. Ей хотелось проверить свои знания и, возможно, удивить всех своими успехами.

Олимпиада началась, и Даша уверенно выполняла задания. Она знала, что хорошо подготовлена и старалась ни в чем не ошибиться. Однако, среди прочих вопросов ей п…
… показать весь текст …