а) Докажите, что для любого натурального n, большего или равного 2, существует n таких попарно различных составных натуральных чисел, что сумма любых n-1 из них кратна количеству делителей оставшегося.

б) Та же задача, но все n чисел должны быть ещё и попарно взаимно простыми.

Сегодня встретил знакомую, которая спросила меня: «Если ты так рвёшься изучать математику, то почему бы тебе не пойти на бухгалтерские курсы?»

Меня подобные вопросы всегда шокируют — неужели люди не понимают разницы между математиком и бухгалтером?

Немного успокоившись и частично придя в себя, я решил написать здесь, что думаю по поводу вопроса моей знакомой.

Прежде всего, математика и бухгалтерское дело суть совершенно разные специальности. Математик это учёный, то есть человек, занимающийся…
… показать весь текст …

Когда тебя забанили шесть женщин, это не беда. Ведь каждая в отдельности забанила одного мужчину. А ты можешь забанить сразу шесть женщин.

Интересна судьба Э. Галуа. По нашим меркам у него не было даже высшего образования. При поступлении в Политехническую школу Галуа провалился на экзамене
по математике, запустив тряпку для стирания с доски в голову экзаменатора, посчитав его вопросы слишком тривиальными. В 1829 г. Галуа поступил в Нормальную
школу, из которой был отчислен за свои политические убеждения. Затем сидел в
тюрьме и в 1832 г. убит на дуэли. За свою жизнь он написал несколько работ, которые представил во французскую Акад…
… показать весь текст …

ПРИКЛАДная математика — это такая математика, которую нужно вдалбливать в голову чуть-ли не ПРИКЛАДОМ.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, представьте число 2025 в виде суммы четырёх натуральных слагаемых так, чтобы все цифры в записи всех этих слагаемых были различны (необходимо использовать все 10 цифр).

—Я ничего не просчитываю. Да, и не могу… У меня двойка была по математике. Так, что доверяю исключительно интуиции. Хотя, она иногда подводит.

а) Задумано три натуральных числа так, что ПРОИЗВЕДЕНИЕ любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

б) Задумано три натуральных числа так, что СУММА любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

250 студентов поехали на картошку, причём у каждого из них ровно 4 друга среди остальных.

По окончании уборочных работ оказалось, что ровно 188 студентов перевыполнили план.

Докажите, что найдётся студент, у которого все четверо друзей перевыполнили план.

Может ли число, в десятичной записи которого есть только цифры 1 и 0, иметь ровно 10 делителей?
Оказывается, может!
У числа 11101101111 ровно 10 делителей!

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, можно ли расставить целые числа от 1 до 22 по кругу так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих чисел была простым числом.

Мне всегда было любопытно, о чём думают авторы школьных задачников и откуда они берут сюжеты для своих задач.

Вот обычная задачка из учебника для 7 класса:

…

По контракту фермер обязан поставлять магазину молоко точно к 7 часам утра. Если электромобиль поедет со скоростью 30 км\ч, то фермер прибудет в магазин в 6 часов утра. Если со скорость 20 км\ч — то в 8 часов утра. Как далеко находится ферма от магазина и с какой скоростью следует ехать, чтобы прибыть вовремя?

…

А теперь представьте с…
… показать весь текст …

Цифра 2 как ключ к квадратным тайнам!

Докажите, что для каждого натурального числа n (большего или равного 4) найдётся такое n-значное число, которое является квадратом натурального числа и при добавлении в его начало цифры 2 также получится квадрат некоторого натурального числа.

Если число 1 (единицу) возвести в степень 365, то получится (1,0)
Если число 1,01 возвести в степень 365, то получится (37,8)
Если число 0,99 возвести в ту же степень (365), то получится (0,025)

Смысл примера в том, что 0,1 (одна десятая) от числа (больше или меньше) и разница на лицо.

Для натурального числа n вычислили сумму его цифр, возвели эту сумму в квадрат, затем каждую цифру полученного квадрата увеличили на 1. В результате снова получилось исходное число n. Для каких значений n это возможно?

Докажите, что в каждом натуральном числе, кратном 111111, обязательно найдутся две одинаковые цифры.

Попробуйте сделать это не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

(Для меньших репьюнитов утверждение неверно. Например, 1234987650 делится на 11111, 1234786509 делится на 1111 (а значит, на 11 и 1), 1234675089 делится на 111.)

Двадцать наименьших простых чисел, представимых в виде суммы трёх факториалов:
3, 5, 13, 31, 127, 241, 727, 45361, 3991681, 479006641, 958003201, 6227383681, 87178331521, 87178654081, 20922789893041, 20922789928321, 21009968179201, 355687468012801, 355774606387201, 6402373745644801.

Прежде на жалобы о том, как трудно соревноваться с американцами, которые все считают на мощных компьютерах, уверенно отвечал:
— Ничего, обойдемся серым веществом.
Гениальный математик М. В. Келдыш исходил из того, что советские математики все равно считают быстрее американцев — более быстрые алгоритмы делают свое дело получше вычислительной мощности процессоров!
Позже стал на подобные жалобы раздражаться:
— Что я могу сделать?
Гений даже не предчувствовал, а видел, что гениальная страна СССР идет не тем курсом, идет к разрушительной «Перестройке»…