У Аркаши-фокусника есть 600 белых шариков и 1200 чёрных. Он разложил их по пяти мешкам (в каждом лежат только белые или только чёрные шарики). Теперь он хочет достать один белый шарик с первой попытки. Как ему это сделать? Вес мешков указан на картинке. Все шарики весят одинаково.

На мешках снизу нарисованы номера 1–5, а на самих мешках веса: 65, 235, 104, 131, 365.

Во ВКонтакте предложили такую задачу:

Пантелей придумал три таких натуральных числа, что сумма любых двух из них равна полному квадрату.
А Корней говорит, что такой тройки натуральных чисел не существует.
Кто из них прав, а кто ошибается?

Вот моё решение:

Таких троек бесконечно много. Более того, существует бесконечно много троек, в которых попарные суммы образуют три последовательных точных квадрата: (6, 19, 30); (16, 33, 48); (30, 51, 70); (48, 73, 96); … Общая формула: (n (n-4)/2, (n**2+2)/2, n (n+4)/2), где n — чётное натуральное число, превышающее 4.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, сколько существует таких групп из десяти последовательных 5-значных чисел, что первое число делится на 11, второе делится на 10, третье — на 9, …, десятое — на 2?

Можно ли выбрать из каждого слова фразы, которую вы сейчас читаете, по одной букве так, чтобы все эти буквы были различными буквами русского алфавита (заглавные и прописные буквы не различаем)?

Придумайте натуральное число, делящееся на 79, с как можно меньшей суммой цифр.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000, не делящихся на 7.

Какое наибольшее количество чисел (не обязательно целых) можно записать в строку так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была четна, а сумма любых 18 последовательных чисел была нечетна?

Два пятизначных числа составляют так, чтобы каждая цифра вошла по одному разу в какое-нибудь из этих чисел. Например, 46 781 и 50239. Для какой пары таких чисел произведение их будет наименьшим, а для какой — наибольшим?

Если бы вчера было воскресенье, то через 96 часов после сегодняшнего полудня был бы день недели, который на самом деле будет послезавтра. Что было позавчера?

Преподаватель высшей математики Анастасия Фёдоровна вошла в аудиторию и, окинув взглядом ряды, заметила, что девушек в аудитории больше, чем 15/28, но меньше, чем 22/41 от общего числа присутствующих студентов.

Какое наименьшее число студентов могло быть в аудитории?

Целое неотрицательное число N назовём облепиховым, если сумма десятичных цифр числа N куб +N квадрат равна N.

Найдите все облепиховые числа и докажите, что других нет.

У числа n**2+n-1 сумма цифр равна n. Найдите все такие числа и докажите, что других нет.

Настя утверждает, что нашла наименьшее натуральное число, которое начинается с 38, оканчивается на 38 и имеет ровно 38 делителей!

По словам Насти, это число равно 38535398281407278950346574602134474041938.

Докажите, что Настя права.

Укажите точную дату и время середины следующего года (но там подводный камень!)

Соседской дочке задали на дом такую задачку: Укажите точную дату и время середины следующего года.

Дочка, естественно, сразу ко мне за помощью. Ну, я, типа пытаюсь ей объяснить, что середина года это всегда 2-е июля. Если год невисокосный, то его середина наступает 2-го июля в 12 часов дня, а если високосный, то тоже 2-го июля, но в 12 часов ночи (ведь полночь это начало нового дня, а не продолжение текущего).

И тут Настя ошарашивает меня вопросом: «А почему ты не учитываешь перевод времени с зимнего на летнее?»

У меня от её вопроса мозги немного через ноздри потекли. Ведь если мы встречаем Новый Год по зимнему времени, а 2-е июля уже вовсю действует летнее время, то середина должна «сдвинуться на час вперёд»? Или я чего-то не понимаю?

Пожалуйста, помогите нам с Настей разобраться! Заранее благодарим!

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите какие-нибудь два десятизначных числа, наименьшее общее кратное которых равно квадрату их разности.

По окружности расположены семь монет, лежащих вверх «решкой». Одним ходом разрешено перевернуть любые пять подряд лежащих монет. За какое наименьшее количество ходов можно добиться, чтобы все монеты лежали вверх «орлом»?

Могут ли шесть попарных сумм четырёх вещественных чисел совпадать с числами 3, 4, 4, 5, 6, 8?

Продолжите ряд: 0; 2; 1; 7; 23;?

А вот моё решение: 0, 2, 1, 7, 23, 121, 719, 5041, 40319, 362881, 3628799, … То есть речь идёт о последовательности факториалов целых неотрицательных чисел, но с нюансом: факториалы чётных чисел уменьшены на 1, а факториалы нечётных чисел увеличены на 1.

Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все 9 цифр были различны:

12* + **6 равно ***

Сколькими способами это можно сделать?

У Насти есть три карточки с цифрами, и она составила из них какое-то трёхзначное число. Потом Даша взяла те же самые три карточки и составила число, которое ровно в четыре раза больше. Как такое могло быть?