«Число литераторов постоянно увеличивается, поскольку это единственная профессия, которой можно заниматься без предварительной подготовки».

Две задачи для развития интеллекта:

Задача № 1]:

Существует ли счётное множество натуральных чисел, в котором любые два числа взаимно просты, а любые несколько (конечное количество, большее 1) чисел дают в сумме составное число?

Задача № 2]:

Таня берёт натуральное число, умножает его на 4, затем получившееся число также умножает на 4 и так далее. Если после очередного умножения Таня получает число, содержащее цифру 4 в десятичной записи, она говорит: «Стоп!» и идёт спать.
Например, если вначале Таня взяла число 2, то она сделает ровно 5 умножений: 8, 32, 128, 512, 2048.
Какое наибольшее количество умножений может проделать Таня перед тем как пойти спать?

Задача № 1:
Таня записала в строку 10 целых чисел. Оказалось, что сумма любых пяти последовательных чисел отрицательна, тогда как сумма любых семи последовательных чисел положительна.

Задача № 2:
У натуральных чисел n и n+1 взяли по собственному делителю. Сумма этих двух собственных делителей оказалась равна 2023. Какое наименьшее значение могло иметь число n?

Задача № 3:
Можно ли разрезать квадрат со стороной 16 на треугольники, сумма периметров которых равна 100?

Задача № 4:
Учительница ма…
… показать весь текст …

Вчрптък157 Натуральное число, превышающее 1, назовём екатериноекатерининским, если оно делится как на число своих делителей, так и на обоих его соседей по натуральному ряду.

Докажите, что екатериноекатерининских чисел бесконечно много.

Эта задача имеет красивое решение в одну строчку, постарайтесь до него додуматься.

Две задачи для развития мозга:
Задача№ 1:
На Ленинградской олимпиаде 1988 года предлагалась следующая задача:
Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.
Тетяна сумела решить более сильную задачу, а именно найти 100-значное число, в десятичной записи которого есть только цифры 8 и 9, кратное сумме своих цифр. Причём Таня сделала это не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Сделайте это и вы!

Задача № 2:
Таня сумела найти два последовательных натуральных числа, каждое из которых равно сумме 5-ых степеней своих цифр, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.
Попробуйте и вы!
(Число 0 натуральным не является.)

Да… Миллиард число с подвохом
Один и девять нулей, десять знаков.
Успеют сделать столько вздохов,
За жизнь свою не многие однако.

Задним числом и дурак умён.

НЕСТЬ ЧИСЛА
Числа им несть — тем, кто взошёл в эмпиреи,
Усердьем своим прорубая препоны —
Талантам — гонимым российским евреям —
Впоследствии, русским великим учёным

Вот числа в диапазоне от 1 до 1000, у которых произведение цифр равно квадрату количества делителей, выписанные в виде последовательности через запятую:
1, 9, 41, 82, 88, 218, 236, 248, 292, 422, 824, 836, 928.

Таня говорит правду, если число чётное, и врёт в противном случае.
Настя наоборот, говорит правду, если число нечётное, и в противном случае врёт.
Увидев написанное на доске натуральное число, эти две девочки сделали следующие высказывания:
Таня: «Это не однозначное число».
Настя: «Это составное число».
Какое число написано на доске?

Число 2024, равное номеру текущего года, даёт остаток 8 при делении на произведение факториалов своих цифр.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, докажите, что натуральных чисел, дающих остаток 8 при делении на произведение факториалов своих цифр, бесконечно много.

Рассмотрим все пятизначные числа (не содержащие 0 — прим. ред.) Разобьем каждое число на две части: первые три цифры и последние две цифры. Затем каждую часть перевернем и перемножим. Например, число 12345 разделится на 123 и 45, которые в обратном порядке записываются как 321 и 54. Полученные числа затем перемножаются (321 * 54 равно 17334). Ваша задача — найти все пятизначные числа, для которых произведение, полученное этим способом, является восьмой степенью целого числа.

Оказалось, что эту задачу нетрудно решить, не пиша компьютерной программы и даже не пользуясь катькулятором! Попробуйте и вы.

Оля выписала в строку несколько последовательных натуральных чисел, а Таня под каждым выписанным Олей числом написала остаток, который даёт это число при делении на количество своих делителей, причём все выписанные Таней остатки оказались одной чётности.

Какое наибольшее количество чисел могла выписать Оля?

МЕЗАЛЬЯНС
Чтобы к числам большим приобщиться,
Ноль супругом стал единицы.

(Дисклеймер: все персонажи являются вымышленными и любое совпадение с реально живущими или когда-либо жившими людьми случайно.)

Таня выписала на доску первые 10 нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

Расставьте между Таниными числами знаки арифметических действий (скобки использовать нельзя, группировать числа тоже нельзя) таким образом, чтобы полученное выражение равнялось 1000. Тане удалось это сделать даже не пиша компьютерную программу. Попробуйте и вы!

Как называется самое большое число?
Вообще-то оно никак не называется, ибо, во-первых, самого большого числа человек еще не знает (и, пожалуй, никогда
не узнает), а во-вторых, из тех чисел-великанов, что нужны людям в работе, названия имеют далеко не все. Но прежде чем познакомить вас с ними, расскажем небольшую историю, которая позволит представить размеры одного из исполинских чисел. Заметим при этом, что в ряду исполинов оно почти самое маленькое. Итак, история.
Мудрец, придумавший шахматну…
… показать весь текст …

Можно ли доказать что чего-то не существует?

Не существует целых положительных натуральных чисел между числом три и четыре. Как доказать? А это не очевидно? Иногда всякие глупости и доказывать не нужно.

Приснилось число 50. Тему не помню.
Решил поделить на 2. Вышло 17,5.
Нее, думаю, чё-то не так. Проверю.
Умножил 17,5 на 2.
50, однако.
???

Когда вы сердиты -посчитайте до десяти …

Существует ли точная четвёртая степень с суммой цифр, равной четырём?
Это тоже открытая проблема, поскольку ответ до сих пор не найден.