Число умножили на сумму его цифр.
Могло ли при этом получиться число
1800. .. 00225 (2025 нулей)?

Задача про хвост «2121…21».
Докажите, что сколько бы раз Дождливая Аня ни выписала подряд без пробелов число 21, найдётся точный квадрат, десятичная запись которого оканчивается на выписанное Аней число.

Дождливая Аня задумала натуральное число, в десятичной записи которого ни одна из цифр не превышает 3.
При этом:
количество нулей равно сумме количеств единиц и двоек;
количество двоек равно количеству троек;
сумма всех цифр числа равна 27.
Какое наименьшее число могла задумать Аня?

Существуют ли такие 19 различных натуральных чисел, что произведение любых 10 чисел кратно произведению оставшихся 9 чисел?

Я думаю, что да. Например, возьмём девятнадцать степеней двойки подряд: 2**81, 2**82, …, 2**99.

4, 8, 32, 2312… А есть ли следующий?

У каких примориалов, увеличенных на 2, сумма делителей будет нечётной?
Ясно, что нечётную сумму делителей дают либо квадраты, либо удвоенные квадраты.
Вот первые 4 решения: 4, 8, 32, 2312.
Существует ли пятое и как его найти?

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите хотя бы одно натуральное число, сумма цифр которого уменьшится в 2 раза, если само число возвести в квадрат.

Дождливая Аня сложила k-тые степени первых нескольких натуральных чисел и получила сумму, которая оканчивается цифрой 7.
При каком наименьшем натуральном k такое возможно?

На какое натуральное число нужно умножить 2025, чтобы у полученного числа было ровно 28 натуральных делителей (включая единицу и само число)? (Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.)

Существуют ли простые близнецы, у которых сумма цифр отличается в 5 раз?

Задача на внимательность (с языковым оттенком)

Последовательность: 0, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 30, …

Какое правило её задаёт? Какие будут следующие элементы?

Подсказка: ответ не числовой, а фонетико-лексический. Связан не с цифрами, а с тем, как звучат названия этих чисел на русском языке.

Дождливая Аня выписала в тетрадь несколько последовательных натуральных чисел, 4 из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Какое наименьшее количество чисел могла выписать Аня?

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, при этом такое, что сумма любых трёх его цифр — простое число.

Никто не знал, откуда она пришла. Одни говорили — из степей под Полтавой, другие — что её подбросили в эшелоне, переполненном молчаливыми женщинами и детьми, выехавшими из Харькова в ночь, когда тот догорал. Она появилась как облако пепла — бесшумная, щемящая, неизбежная. Её звали Мира, и это имя несло в себе больше иронии, чем надежды.

Она не говорила. Почти совсем. Только глазами. И этими глазами можно было расплавить шестерёнки в сердце «мессера».

Лагерь стоял на склоне заброшенного кирпичн…
… показать весь текст …